Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора
Найдем разложение функции
по формуле Тейлора (Маклорена) при
.
;
.
Отсюда, по формуле (16.22.) получаем
,
где
.
По аналогии можно найти разложение
следующих элементарных функций
по формуле Тейлора (Маклорена):
,
где
.
,
где
.
,
где
.
,
где
.
Формула Тейлора применяется для приближенного вычисления значений функции. При этом погрешность вычисления оценивается с помощью остаточного члена.
А также формула Тейлора используется для вычисления пределов, интегралов.
Пример 16.27. Вычислить приближенно
с точностью до 0,0001.
Решение.
,
т.е.
.
Согласно формуле разложения функции
по формуле Тейлора, получаем
,
где
.
Так как
,
то
.
Поскольку
,
то
.
Надо подобрать число n
слагаемых так, чтобы выполнялось
неравенство
,
т.е.
.
Это неравенство решают подбором,
последовательно полагая
.
При
имеем
.
Таким образом, с точностью до 0,0001
.