16.9. Дифференциал функции

Пусть дана функция , определенная на множестве X, и в точке имеет отличную от нуля производную, т.е. . Тогда по теореме о связи функции, ее предела и б.м.ф., можно записать , где при , или .

Таким образом, приращение функции представляет собой сумму двух сла-гаемых и , являющиеся бесконечно малыми при . При этом первое слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с , так как , а второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высо-кого порядка, чем , так как .

Слагаемой называют главной частью приращения функции .

Определение 16.2. Дифференциалом функции в точке x называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается (или ):

. (16.10.)

Дифференциал называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной x, т.е. дифференциал функции . Так как , то согласно формуле (16.10.), имеем , т.е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: . Поэтому формулу (16.10.) можно записать так:

, (16.11.)

иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.

Из формулы (16.11.) следует равенство . Теперь обозначение производной можно рассматривать как отношение дифференциалов и .

Пример 16.14. Найти дифференциал функции

а) в общем виде;

б) в точке ;

в) при и .

Решение. Находим производную первого порядка:

.

а) Используя формулу (16.11.), получаем

.

б) Дифференциал функции в точке равен

.

в) При и получаем:

.



Выясним геометрический смысл дифференциала функции.

Проведем к графику функции в точке касательную и рассмотрим ординату этой касательной для точки . На рисунке , . Из прямоугольного треугольника имеем:

, т.е. .

Но, согласно геометрическому смыслу производной, . Поэтому .

Сравнивая полученный результат с формулой (16.10.), получаем .

Геометрический смысл: дифференциал функции в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x получит приращение .

Правила вычисления дифференциала аналогичны соответствующим правилам нахождения производной.

Инвариантность формы записи дифференциала

Пусть для , тогда

.

Рассмотрим сложную функцию , где , причем и дифференцируемы соответственно в точках x и . Тогда , но следовательно, . А так как , то

.

Таким образом, форма записи дифференциала сохраняется, если независимую переменную заменить некоторой функцией. Это свойство называется инвариант-ностью (неизменностью) формы записи дифференциала.

Заметим, что из инвариантности следует, что, хотя (x – незави-симая переменная), а ( – функция), запись их одинакова. Однако сущность этих формул различна: задается произвольно, же задавать произвольно, вообще говоря, нельзя; нужно вычислить по формуле дифференциала . Это относится и к случаю с несколькими промежуточными функциями.