
- •16.5. Дифференцирование функций, заданных неявно
- •16.6. Логарифмическое дифференцирование
- •16.7. Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •16.8. Производные высших порядков
- •16.9. Дифференциал функции
- •Инвариантность формы записи дифференциала
- •Приближенные вычисления с помощью дифференциала
- •Дифференциалы высших порядков
- •16.10. Основные теоремы дифференциального исчисления
- •16.11. Правило Лопиталя
- •Раскрытие неопределенностей различных видов
- •16.12. Возрастание и убывание функций
- •16.13. Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
- •Правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на :
- •16.14. Выпуклость и вогнутость графика функции. Точки перегиба
- •16.15. Асимптоты графика функции
- •Вертикальная асимптота
- •Наклонная и горизонтальная асимптоты
- •16.16. Общая схема исследования и построения графика
- •Примерный план исследования функции
- •16.17. Формула Тейлора
- •Разложение основных элементарных функций по формуле Тейлора
16.9. Дифференциал функции
Пусть дана функция
,
определенная на множестве X,
и в точке
имеет отличную от нуля производную,
т.е.
.
Тогда по теореме о связи функции, ее
предела и б.м.ф., можно записать
,
где
при
,
или
.
Таким образом, приращение функции
представляет собой сумму двух сла-гаемых
и
,
являющиеся бесконечно малыми при
.
При этом первое слагаемое есть бесконечно
малая функция одного порядка с
,
так как
,
а второе слагаемое есть бесконечно
малая функция более высо-кого порядка,
чем
,
так как
.
Слагаемой называют главной частью приращения функции .
Определение 16.2. Дифференциалом
функции
в точке x
называется главная часть ее приращения,
равная произведению производной функции
на приращение аргумента, и обозначается
(или
):
.
(16.10.)
Дифференциал
называют также дифференциалом
первого порядка. Найдем дифференциал
независимой переменной x,
т.е. дифференциал функции
.
Так как
,
то согласно формуле (16.10.), имеем
,
т.е. дифференциал независимой переменной
равен приращению этой переменной:
.
Поэтому формулу (16.10.) можно записать
так:
,
(16.11.)
иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.
Из формулы (16.11.) следует равенство
.
Теперь обозначение производной можно
рассматривать как отношение дифференциалов
и
.
Пример 16.14. Найти дифференциал функции
а) в общем виде;
б) в точке
;
в) при
и
.
Решение. Находим производную первого порядка:
.
а) Используя формулу (16.11.), получаем
.
б) Дифференциал функции в точке равен
.
в) При и получаем:
.
Выясним геометрический смысл дифференциала функции.
Проведем к графику функции
в точке
касательную
и рассмотрим ординату этой касательной
для точки
.
На рисунке
,
.
Из прямоугольного треугольника
имеем:
,
т.е.
.
Но, согласно геометрическому смыслу
производной,
.
Поэтому
.
Сравнивая полученный результат с
формулой (16.10.), получаем
.
Геометрический смысл: дифференциал функции в точке x равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда x получит приращение .
Правила вычисления дифференциала аналогичны соответствующим правилам нахождения производной.
Инвариантность формы записи дифференциала
Пусть для , тогда
.
Рассмотрим сложную функцию
,
где
,
причем
и
дифференцируемы соответственно в точках
x
и
.
Тогда
,
но
следовательно,
.
А так как
,
то
.
Таким образом, форма записи дифференциала сохраняется, если независимую переменную заменить некоторой функцией. Это свойство называется инвариант-ностью (неизменностью) формы записи дифференциала.
Заметим, что из инвариантности следует,
что, хотя
(x
– незави-симая переменная), а
(
– функция), запись их одинакова. Однако
сущность этих формул различна:
задается произвольно,
же задавать произвольно, вообще говоря,
нельзя;
нужно вычислить по формуле дифференциала
.
Это относится и к случаю с несколькими
промежуточными функциями.