Метод неопределённых мно-лей Лагнранжа.
Использ для определен реакци связи мех. Сист через ф. Св. данной мех .системы.
Умножим вариацию
на мно-ль
получим:
P-кол-во
связей.
Построим функцию лагранжа:
–можем сконсруировать
т.к и то и то=0. Т.к
,
выб его таким что бы удовлетвор ур-ю и
равен-ва 0. Тогда
.
Ур-е Лагранжа 1-го рода.
Если на М.т действуют
активные и пасиивные силы то ур-е вижения
выглядит след образ:
Это и есть ур-е
Лагранжа 1-го рода.-дифф
ур-ния движ механ. сис, к-рые запис в
проекциях на декарт оси и содержат.
множ Лагранжа. Для отыск з-на движя ур-е
Лагранжа 1-го рода
пользуются редко, т. к. интегр системы
Зn+k ур-ний,
когда п велико,
связано с большими трудностями. Но если
з-н движ будет найден другим путём, то
по ур-ям
Лагранжа 1-го рода,
в к-рых левые части известны, можно
определять реакции связей.
Общее ур-е механики.
Расмотр сист из n
М.т запиш з-н ньютон :
Допуст связи
-
идены тогда работ на вирт перемещ =0
умнож скалярн на
–это и есть общ
ур-е мех. Оно показ что в люб мом врем
сум элемент работ ативн сил и сил инерц
=0 если свзи не идеальны то общ ур мех
выгл след образ:
Реш зад о движ по накл пл-ти в поле сил тяж основ на ур-и Лагранжа 1-го рода.
h,
Ур-я Связи:
.
=>
=>
Реш сист и получ:
Решим ур-е :
Реш задач о движ двух тел связ нер нитью перек через блок на основ общ ур-я механ.
Это
машина Атвуда. Длина нить=
,
трен в блоке прнебр, нить нерастяж.
Ур-е связи x1+x2+
–общ ур динам.
Из ур-я связи:
Получаем:
Анализ прим о движ тел, брош под углом в поле сил тяж, мет вариац функци дейцствия.
Ф-я действ имеет
вид
,
где L-ф-я
лагранжа
=>
огр перв пор-ком
малости по
:
=
=
тогда
учтём ГУ (
)
=>
Внесём z0 под произ-вю и вынесем – получим:
= 0 –общ ур-е мех.
Принцип мин действия- вариация ф-ции действи => истинный путь будет минимальным.
Вариацион принцип.Ур-е лагранжа эйлера.
принц
наимен дейст-
истин среди рассматр возможных движ
сист явл то, для котор физ велич, наз
действием, имеет мин знач.
=
=учтём ГУ(
)
и
применим фор ньютон-лейбниц к под интегра выраж:
интегр =0 если под
интегр выр =0
Поскольку пределы выб произв образ:
– ур-е Лагранжа –
эйлера(ур-е Лагранжа 2-го рода)
На основ ур-я л-э получ ур-е колеб мм и м.Т под действ упр силы.
Есть ММ у него
обобщён корд
Ф-я связи
------------- Далее М.т – есть пруж маятник
Обобщ коорд-
,
=>
Ввв обоих случ можем перейти по форм эйлера к син и косинусам.
Ур-е Л-Э для сист с многим степ свободы.
+
= учтём ГУ (
)=
применим фор ньютон-лейбниц к под интегра выраж:
интегр =0 если под интегр выр =0
Поскольку пределы выб произв образ:
– ур-е Лагранжа –
эйлера(ур-е Лагранжа 2-го рода)
Обобщ коорд, скор и импульс.Циклю коорд.ЗС обощ имп.Обобщ коорд-совок независ параметр с помощ которы опис полож тела относ выбр СО в люб момент времени.Число обощ коорд определ ичслом степ свободы тела.Обобщ сокрости-произв по времени от обощ коорд.
Обобщ имп- произв лагранжеана по обощ сокрости.
Цикл координаты – обобщ коорд мех . сист не вход явно в характерист ф-ии системы.Налич Цикл коорд упрощ процесс интегриров системы т.е Для цикл коорд
ЗС обощ имп: дадим
всем радиус вектор один приращ, котор
не буд влият на ур-е движ:
С-const
Ф-я лагранжа измен
если скор пост
т.к приращ не влият на ур-е движ то
вариац ф-и Лагр =0 =>
=>
перв-е слаг =0 тогда
– обобщ импулс
сист пост велич.