42. Фазовое пр-во з-н сохран потока точек фаз про-ва.

Фаз пр-во - совок точ, полож котор опред обобщ корд и обощ имп мех сист. Размер фаз пр-ва опред числом обощ коорд и имп.

Теорема о непрерывн пл-ти точек фазового пространст - совок точ ФП – сов точ этого пр-ва в опред мом врем. При дв мех сис распре точ ФП меняет.

Введём пл-ть потока точек ФП:

или – ЗС пл-ти потока точек ФП

Док-во: ур-я движ в канонич форме:

и то

43. Теорема Лиувиля.

Если для мех. сист с R степенями свобод коорд фаз точ удовл канон ур-ю движ, то объём фазов точек мех сист не мен со врем.

Док-во: рассмотр объёмы: V0= и в момент врем V1= переход от объема в мом врем осущ с помощью Якобиана D: V1= D=

Можем видеть что з-н преобр объёма отражат з-н преобр якобиана - найдём его в произ мом врем.

Якобиан=

Огранич перв порядком малости по перв велич и раск якоб D=1+ =>

44. Канонические преобразования.

,

Основ суть – упрощ реш ур-й. Должны быть согласов с принципом наименьш действ.

учтём гу( ) =0 – произв ф-я

и т.к пределы инт выб произв образом, под функ должна =0 то в новых конон коорд

53. Физическая интерпретация решений уравнений Эйлера вращающегося твердого тела

54. Вращение тела в поле силы тяжести.

Запишем функц Лагранжа для тверд тела в потенц поле сил: L = T - U = ½ I₁ (φ’²·sin²θ + θ’²) + ½ I₃ (φ’·cosθ + ψ’)² – mgL cos θ

Обобщ коорд φ и ψ явл циклич коорд, значит им соответств сохраняющиеся во врем обобщ импульсы:

P_φ = I₁ φ’·sin²θ + ½ I₃ (φ’·cosθ + ψ’) ·cosθ = const

P_ψ = I₃ (φ’·cosθ + ψ’) = const

Запиш закон сохран энерг

E = ½ I₁ (φ’²·sin²θ + θ’²) + ½ I₃ (φ’·cosθ + ψ’)² + mgL cos θ

56. Качественный анализ уравнения вращения твердого тела в поле силы тяжести.

Дифф уравнения вращат движ твердого тела может быть получено, исходя из теоремы об изменении кинет мом , - это кинетический момент тела относительно оси вращения.принимая получим м или через угол вращения - это есть уравнение вращательного движения (в диф.форме) твердого тела. Из него следует, что при вращат движ тело имеет одну степень свободы. Момент инерции тела относит оси вращения играет такую же роль, как масса при поступат движ тела, т.е. момент инерции тела относит данной оси является мерой инертности тела при его вращат движении вокруг этой оси. Используя уравн можно решать след две основные задачи динамики вращат движ твердого тела:

1) Зная вращательный момент, найти закон вращения тела или его угловую скорость w , т.е. j =f(t).

2) Зная закон вращения, т.е. j =f(t), найти вращательный момент внешних сил.

Частный случай:

Если , то тело вращается равноускоренно, т.е. e =const.