Сортировка модели на топологическом ранге неопределенности

Применяемые различные математические методы, переклю­чения между ними в процессе моделирования, требуют различных подходов к упорядочиванию элемен­тов в подсистемах модели, иначе говоря, записи уравнений. При использовании явных методов традиционно первыми решают алгебраические уравнения, то есть фактически происходит упорядочивание системы уравнений по этому признаку. Предлагаемые адаптивные алгоритмы требуют построе­ния списков на основании причинно-следственных взаимоотношений. Неявные методы, строго говоря, не предполагают упорядочивания элементов, но для по­вышения скорости расчетов целесообразно провести определенную сорти­ровку. Порядок следования уравнений для всех этих методов различен.

Наиболее сложными и трудоемкими являются неявные методы. Поэтому целесообразно в качестве основного порядка следования уравнений в подсистемах принять порядок элементов, используемый для неявных методов. Порядок следования уравнений для остальных методов записывается в индексные массивы. При переключении с одного алгоритма на другой новые переста­новки не производятся и порядок расположения элементов берется из со­ответствующего массива индексов.

Основные потери быстродействия при численном интегрировании по неявной схеме возникают при решении линейной системы уравнений [85]. Для ускорения этого процесса предлага­ется на топологическом уровне представления модели расположить уравнения (номера элемен­тов) так, чтобы ненулевые элементы в матрице Якоби (3.9) были распо­ложены в заранее определенном порядке следования. Такое упорядочивание элементов позволяет использовать быстрые, специализированные алгоритмы решения получаемых на каждой итерации систем линейных уравнений [72, 86, 106].

Предлагаемый алгоритм [А14, А17, А24, А35, А44], схема которого представлена на рис. 32, предполагает приведение системы к форме, при которой образовывается ленточная матрица (рис. 33). Широкий класс алгоритмов для ра­боты с подобными матрицами представлен во многих работах. Кроме того, необходимо отметить, что приведение к матрице специального вида происходит на уровне топологических моделей, а не на вычислительной стадии расчета.

На рис. 34-37 представлены результаты проведения предложенной сортировки для тестовой моделей и модели ТГУ-532, показаны матрицы смежности исходных и преобразованных моделей.

Алгоритм построен на основе традиционных обменных методов сортировок. В блоке 1 формируется булевская матрица ненулевых значений матрицы Якоби. Ненулевые элементы в матрице Якоби образуются за счет переменных, являющихся причиной и переменных, являющихся следствием каждого уравнения. Очевидно, что это можно записать в матричной форме как:

,

где I - единичная матица, C - матрица смежности, т - символ транспонирования, A - матрица наличия ненулевых значений матрицы Якоби. Учитывая, что большинство элементов системы составляют элементы типа SISO (один вход и один выход), то матрица будет сильно разряжена.

Рисунок 24 Блок схема алгоритма сортировки на топологических моделях

В блоке 2 создается копия матрицы A, на которой производятся перестановки (r). В блоках 3, 5 организуют основной цикл по переменной flag, устанавливаемый в блоке 4 в нуль. В матрице A, в блоке 5, определяется максимальное расстояние от ненулевого эле­мента до единичной диагонали lmax, и его номер i. Блоки 6,7,14 организуют цикл, где N размерность системы. Блок 9 производит обмен в матице r i и j элементов. При этом, в матрице r, определяется макси­мальное расстояние до ненулевого элемента (блок 9). Если оно больше оп­ределенного lmax, то присваивается новое значение lmax и запоминается при какой перестановке строк оно было достигнуто. Переменная flag устанавливается в 1 (блоки 10,11,12). В блоке 13 возвращается исходное значение матрице A. После завершения цикла (6,7,14) проверяется значение переменной flag. Если flag == 1 (истина) то производятся перестановки в СНГГ, и в соответствующих ему матричных формах представлений C,A (блоки 15,16). Если была произведена перестановка, то работа алгоритма возвращается на п. 4. Если переста­новка не была произведена, то получено минимальное значение lmax и алгоритм завершает свою работу.

Подобные перестановки для упрощения расчетной формы модели были предложены Д. Стюардом, а также рассмотрены в [119]. Предлагаемый в них алгоритм предполагает приведение вида матрицы к блочно треугольному виду. Это упрощает расчеты, но не позволяет без потери информации перейти на более быстрые методы, так как мат­рица остается почти треугольной, а не треугольной. Кроме того, формаль­ный принцип образования диагональных блоков и отказ от учета влияния “отсоединенных частей”, может привести к потере существенной информации о поведении модели.

Рисунок 25 Ленточная матрица

Рисунок 26 Тестовая модель и ее исходная матрица смежности

i j

i

j

Рисунок 27 Иллюстрация сортировки и ленточная матрица отсортированной системы

Пример, показанный на рис. 35, иллюстрирует работу этого алгорит­ма. Он позволяет использовать для ре­шения линеаризованной системы ленточные методы, за счет чего можно дос­тигнуть увеличения скорости расчета. Используя оценки скорости вычис­лений для ленточных матриц, приведенные в [86] и проверенные рядом экспериментов, эффект от применения этакого подхода можно оценить как

,

где N - размерность системы, а 2*M+1 - ширина ленты (на рис. 33 M=lmax).

Для примера, приведенного на рис. 35, в результате предлагаемой сортировки, представлены на рис. 36. Налицо улучшения по сравнению с тра­диционными методами.

Для тестовой модели, которая представлена на рис. 34 в виде графа и матрицы смежности, предлагаемая сортировка порядка уравнений (номеров переменных) приводит матрицу к виду, показанному на рис. 35. Данное преобразование позволяет получить вычислительный эффект, связанный с увеличением скорости расчетов, в

Рисунок 28

Рисунок 29 Матрица смежности исходной и отсортированной модели

Рисунок 30 Диаграмма графа модели структурно-сложной нелинейной системы управления турбоагрегата электростанции

Еще лучше достоинства этого подхода видны на примере системы представленной на рис. 38. Результаты сортировки показаны на рис. 37. Эффект от применения предлагаемой сортировки составил:

раз.

Предложенный алгоритм сортировки элементов приводит к получению матрицы Якоби известного вида, что позволяет использовать более быстрые алгоритмы решения систем нелинейных уравнений в процессе моделирования по неявной схеме. Данный подход отличается от встречаемых в литературе тем, что учитываются все переменные, без исключения части из них, соответствующих слабым связям. Кроме того, приведение к матрице специального вида происходит на уровне топологических моделей, а не на вычислительной стадии расчета. Эффект от применения такой сортировки, выполняемой однократно, получается на каждой итерации расчета для каждого момента времени.