Диференціальне числення функцій однієї змінної

D(f) – внутрішня область визначення, x₀ – внутрішня точка D(f)

Існує B_(x0) D(f) (_ - відкритий інтервал)

x - x_{0 =} Δx - приріст аргументу

f(x) – f(x₀) = Δf(x₀) - приріст функції

Означення

Функція f наз. диференційованою у внутрішній точці області визначення D(f), якщо:

Δf(x₀) = f(x) – f(x₀) можна зобразити у вигляді А Δx + О(Δx) (А = const)

А Δx - можливість виділити лінійну частину відносно прирісту

Δx = dx - диференціал аргументу

Означення

Диференціалом функції df(x₀) = А Δx = А dx наз. лінійна частина її приросту в т. x₀

Δf(x₀) = f(x) – f(x₀) = А Δx + О(Δx)

α(x, x₀ ) , де α(x, x₀ ) = О(Δx)

const Δx  0

Твердження

Нехай, існує f' - диференційована в т. х0, тоді існує

Обернене твердження

Нехай, існує f'’(x₀), тоді f' - диференційована в т. х0

Функція диференційована в т. х0, якщо в цій точці існує похідна.

Якщо f диференційована в кожній точці кожного проміжку, то вона наз. диференційованою на цьому проміжку.

Локальні властивості диферен. f (в деякому околі деякої точки)

Нехай f - диференційована в т. х0, тоді вона неперервна в цій точці

де = О(Δx)

для досить малих

- нескінченно мала величина.

Візьмемо =1

А навпаки твердження невірне

Геометрична інтерпретація поняття похідної

- дотична до графіка

Арифметичні властивості похідних та диференціалів

1. 

2. 

3. =

=

4. 

Нехай функція диференційована, тобто

, ,

,

,

,

Теорема Ферма:

Нехай (функція неперервна на відрізку [a,b]), досягає екстремуму в т. і диференційована в цій точці. Тоді, .

Доведення:

Аналогічно

Підозрювані на екстремум:

1. ;

2. 

3. 

Теорема Дарбу:

Нехай диференційована в кожній точці [a,b], на кінцях [a,b] та мають значення протилежних знаків. Тоді

Якщо в околі а не є т. максимуму.

Наслідок: Нехай С – число та .

Доведення: , .

та мають різні знаки, а значить

Теорема Ролля:

Нехай – неперервна на відрізку [a,b], диференційована на інтервалі (a,b) і . Тоді

Доведення:

1. Нехай

2. 

За теоремою ферма

Теорема Коші: Нехай та неперервні на [a,b], диференційовані на інтервалі (a,b), на (a,b). Тоді

Доведення:

за теоремою Ролля

Теорема Лагранжа:

формула скінченних приростів

Диференціювання обернених функцій

диференційована не в своїй області

За теоремою Дарбу:

Диференціювання:

Доведення:

Нехай

при деяких значеннях

Таблиця похідних:

1) - константа

2) - степенні

3) - показникові

4) - логарифмічні

Гіперболічні:

5)

6)

Тригонометричні:

7)

8)

Обернені тригонометричні:

9)

Тепер диференціюємо:

Самостійно продиференціювати вдома =)

Як тільки х – мале, то і у теж мале.

Форма першого диференціала інваріантна відносно заміни першої змінної

Для других диференціалів такої інваріантності не буде і форма другого диференціала зміниться