§ 3. Как по заданной перестановке определить комбинационное число?

Теперь, когда знаем, как найти перестановку от порядкового номера, как можно найти порядковый номер от перестановки?

Сначала, нужно знать перестановку.

Затем, вычисляем комбинационное число. (Как только получим комбинационное число, можем найти порядковый номер).

ПОРЯДКОВЫЙ НОМЕР

↑

КОМБИНАЦИОННОЕ ЧИСЛО

↑

ПЕРЕСТАНОВКА

Это - обратный путь нахождения перестановки из порядкового номера.

Каков порядковый номер для:

B C А D F E ?

Если первая комбинация:

А B C D E F

Шаг 1

(§ 3)

Теперь, когда знаем перестановку и начальную перестановку, найдем комбинационное число заданной перестановки.

Чтобы вычислить комбинационное число, взглянем как перестановка и начальная комбинация отличаются:

5 4 3 2 1 0

B C A D F E

А B C D E F

Сначала, нужно взглянуть на элемент в 5-й позиции (мы видим, что это B) и узнать, где он находится в начальной перестановке. Элемент B в начальной перестановке находится в 4-й позиции. Значит, сделаем сдвиг 1 элемент. Так что его комбинационное число равно 1.

А C D E F

B _ _ _ _ _ (1)

Затем, взглянем на элемент в 4-й позиции (это C) и узнаем, где он находится в начальной перестановке (Ранее использованный элемент B не учитываем). Как видите, сделан сдвиг на 1 элемент, так что его комбинационное число равно 1.

А D E F

B C (1) (1)

Затем, взглянем на элемент 3 в позиции (это A) и узнаем, где он находится в начальной перестановке. Посмотрим, на каком месте он находится в начальной перестановке. Видно, на первом месте. Он не пропускал никаких элементов, таким образом его комбинационное число равно 0.

D E F

B C А _ _ _ (1) (1) (0)

Теперь, посмотрим на элемент в позиции 2 (это D) и узнаем, где он находится в начальной перестановке. Видно, что это D, теперь взглянем, какой сдвиг надо сделать в начальной перестановке, чтобы найти его. Так как он стоит на первом месте, то не надо делать сдвигов, поэтому его комбинационное число равно 0.

E F

B C А D _ _ (1) (1) (0) (0)

Затем, нужно посмотреть на элемент в позиции 1 (это E) и узнать, где он находится в начальной перестановке. Как видим, в начальной перестановке надо сделать один сдвиг, поэтому комбинационное число равно 1.

E

B C А D F _ (1) (1) (0) (0) (1)

Теперь, остался только один выбор. Вставим E в позицию 0 без сдвига.

B C А D F E (1) (1) (0) (0) (1) (0)

Шаг 2

(§ 3)

Теперь, когда у нас есть комбинационное число, можно найти порядковый номер.

Что бы найти порядковый номер:

Умножим комбинационное число на количество изменений каждого элемента.

1 1 0 0 1 0

120 24 6 2 1 1

Он должен выглядеть так:

=1×120 + 1×24 + 0×6 + 0×2 +1×1 + 0×1

=145

Это число - порядковый номер