§ 2. Как по комбинационному числу найти перестановку?

Рассмотрим перестановки букв А, B, C, D, E, F. Используя комбинационное число 210110, найдем соответствующую перестановку.

Для этого поместим самую первую перестановку A B C D E F в первую строку таблицы, а во вторую строку будем последовательно заполнять элементы искомой перестановки:

A	B	C	D	E	F

Так как первое комбинационное число 2, пропускаем две буквы в начальной перестановке и вставляем следующую букву в первую клетку второй строки. (Как видите снизу: C)

A	B		D	E	F
C

Так как второе комбинационное число перестановки равно 1, то пропускаем одну букву в начальной перестановке и вставляем следующую букву во вторую клетку второй строки. (Как видите снизу: B).

A			D	E	F
C	B

Так как второе комбинационное число равно 0, не пропускаем ни одного из чисел в начальной перестановке и вставляем первое доступное число в третью клетку второй строки. (Как видите снизу: A)

			D	E	F
C	B	A

Так как четвертое комбинационное число равно 1, пропускаем одну букву в начальной перестановке и вставляем следующую букву в четвертую клетку. (Как видите снизу: E).

			D		F
C	B	A	E

Так как пятоге комбинационное число равно 1, пропускаем одну букву в начальной перестановке и вставляем следующую букву в пятую клетку. (Как видите снизу: F)

			D
C	B	A	E	F

Так как осталась только одна буква, помещаем её в шестую клетку.

C	B	A	E	F	D

C B A E F D.

Таким образом, мы можем по поряковому номеру перестановки определить комбинационное число, затем по комбинационному числу определить перестановку. Как видно, алгоритмы нахождения используют минимальное число операций.

ПОРЯДКОВЫЙ НОМЕР

↓

КОМБИНАЦИОННОЕ ЧИСЛО

↓

ПЕРЕСТАНОВКА

Пример 1: Теперь решим следующую задачу: по порядковому номеру перестановки восстановить саму перестановку.

Для этого нужно:

1) По порядковому номеру перестановки построить комбинационное число (§ 1).

2) По построенному комбинационному числлу построить саму перестановку.(§ 2)

A B C D E F - Нужно найти весь этот порядок комбинаций.

Для того, чтобы найти возможное количество перестановок, нужно найти 6! = 720.

Если А B C D E F – первоначальная комбинация, то какая перестановка для порядкового номера 511 ?

Из порядкового номера 511 мы можем вычислить перестановку.

(A) Меняется один раз в каждых 120 приращениях порядка.

(B) Меняется один раз в каждых 24 приращениях порядка.

(C) Меняется один раз в каждых 6 приращениях порядка.

(D) Меняется один раз в каждых 2 приращениях порядка.

(E) Меняется в каждом приращении порядка.

(F) Меняется в каждом приращении порядка.

1) 511 делим на 120, частное 4 и остаток 31.

2) Полученный остаток 31 делим на 24, частное 1 и остаток 7.

3) Остаток 7 делим на 6, частное 1, остаток 1.

4) Остаток 1 делим на 2, частное 0, остаток 1.

5) Остаток 1 делим на 1, частное 1, остаток 0.

6) Остаток 0 делим на 1, частное 0, остаток 0.

Комбинационное число = 4 1 1 0 1 0

A	B	C	D	E	F
E	B	C	A	F	D