§ 1. Как можно построить комбинационное число по порядковому номеру перестановки?
§ 1. Как можно построить комбинационное число по порядковому номеру перестановки?
Например, определим какая перестановка имеет порядковый номер 117?
Для этого:
117 разделим на 24 (ближайший факториал, меньший или равный 117), получим частное 4 и остаток 21.
Так как частное – 4, то 5-ый элемент меняется 4 раза.
Полученный остаток 21 разделим на 6 (следующий меньший факториал), получим частное 3 и остаток 3.
3) Остаток 3 разделим на 2, получим частное 1 и остаток 1.
4) Остаток 1 разделим на 1, получим частное 1 и остаток 0.
5) Остаток 0 разделим на 1, получим частное 0 и остаток 0.
Таким образом, мы получили комбинационное число (43110) 117–ой перестановки.
Порядок |
Комбинационное число |
0 |
0 0 0 0 0 |
1 |
0 0 0 1 0 |
2 |
0 0 1 0 0 |
3 |
0 0 1 1 0 |
4 |
0 0 2 0 0 |
5 |
0 0 2 1 0 |
6 |
0 1 0 0 0 |
7 |
0 1 0 1 0 |
8 |
0 1 1 0 0 |
9 |
0 1 1 1 0 |
10 |
0 1 2 0 0 |
11 |
0 1 2 1 0 |
12 |
0 2 0 0 0 |
… |
………… . |
117 |
4 3 1 1 0 |
118 |
4 3 2 0 0 |
119 |
4 3 2 1 0 |
Пример. Найдем перестановку из шести букв A,B,C,D,E,F с порядковым номером 267.
Так как здесь 6 букв,то количество всевозможных перестановок 6! = 720
- Элемент 5 Изменяется в каждом 120 прибавлении порядке.
- Элемент 4 Изменяется в каждом 24 прибавлении порядке.
- Элемент 3 Изменяется в каждом 6 прибавлении порядке.
- Элемент 2 Изменяется в каждом 2 прибавлении порядке.
- Элемент 1 Изменяется в каждом прибавлении.
- Элемент 0 Изменяется в каждом прибавлении.
- Сначала, разделим 267 на 120. Частное будет 2 с остатком 27. Значит, элемент 5 меняется дважды.
- Чтобы найти число изменений элемента 4, мы должны использовать остаток 27 и поделить его на 4! – число изменений каждого прибавления, т. е. , 27 делим на 24. Частное 1, а остаток 3.
- Чтобы найти число изменений элемента 3, используем остаток 3 и поделим его на 3! – число изменений каждого прибавления. Таким образом, выходит 3 деленное на 6. Частное 0 и остаток 3.
- Чтобы найти число изменений элемента 2, остаток 3 делим на 2! – число изменений каждого прибавления. Значит, 3 делим на 2. Частное 1 и остаток 1.
- Чтобы найти элемент 1 нужно использовать остаток 1 и поделить его на 1! – число изменений в каждом прибавлении. 1 делим на 1. Частное будет 1 и остаток 0.
- Чтобы найти элемент 0, используем остаток 0 и поделим его на 0! – число изменений каждом прибавлении. 0 делим на 1. Частное будет 0 и остаток 0.
Теперь, перечислим частные, и это будет комбинационным числом:
210110