§ 8. Дииференцируемость функций многих переменных.

Пусть (1) определена в некоторой окрестности , .

df.1 Полным приращением функции f в точке , соответствующим приращениям аргументов, называется выражение:

П ри n=2

y

D

0. x

df.2 Функция называется дифференцируемой в точке и ее полное приращение в этой точке может быть представлено в виде:

(2)

Где - независящее от числа, а - бесконечно малое при функции, .

- расстояние между точками и .

Отметим, что запись (или ) эквивалентна записи при .

Условие (2) называется условием дифференцируемости функции в данной точке.

Если (векторная) функция f дифференцируема в точке , то будем писать если .

df.3 Пусть f – дифференцируема в точке . Дифференциалом функции f в точке главная линейная относительно приращений аргументов часть полного приращения f в точке .

Обозначение .

ЛЕММА.

Если , где

.

Доказательство:

Действительно, при :

,

Пусть , но

.

Th.1 Пусть f дифференцируема в точке , тогда , или , тогда =

= .

Доказательство:

Согласно определению №3 и Лемме: , такая что:

(2)

Причем (2) справедливо , что . Пусть , отсюда при :

- бесконечно малое при .

По свойству пределов функции одного переменного (Необходимое и достаточное условия существования предела) (в обратную сторону неверно).

СЛЕДСТВИЕ.

Пусть - дифференцируема в точке дифференциал f определяется единственным образом формулой:

Единственность следует из единственности производных.

Th.2 (Необходимое условие дифференцируемости)

Пусть - дифференцируема в точке f –непрерывна в точке или .

Доказательство:

Т.к. f – дифференцируема в точке , то и ; , т.к.

.

Предел правой части =0 при f непрерывна в точке (в обратную сторону утверждение не имеет смысла).

Th.3 (Достаточное условие дифференцируемости)

Пусть в и - непрерывна в точке - дифференцируема в точке .

Доказательство:

Проведем доказательство для случая , т.е. . Найдем приращение:

= (при- меним теорему Лагранжа)=

(в силу непрерывности )=

= .

или .

df.4 Функция, имеющая непрерывные частные производные на множестве G, называется непрерывно-дифференцируемой на G.

Обозначение: , то будем писать .

§ 9. Дифференцирование сложной функции.

Рассмотрим функцию:

Th.1 Пусть :

1. g(x) определена в , функция f(t) определена в , где .

2. g(x) дифференцируема в точке (т.е. ).

3. 

Тогда :

(1)

Доказательство:

а) пусть n=1. g(x) дифференцируема в точке

, . Причем

.

Пусть при :

(*)

Т.к. непрерывна в точке при

. Кроме того

= переходим к пределу в (*) при :

б) n>1. Это частный случай пункта а), т.к. рассматриваемая функция т.е. имеем y=g(x).

, т.к. ч. и т. д.

Выпишем формулу (1) для всех частных случаев: n=1, k=2:

ПРИМЕР.

.

n=2, k=2:

Пусть , где

ПРИМЕР.

.

df.1 Пусть ,

и удовлетворяет условиям Th.1 в точке . Тогда

- полная производная.

Доказательство формулы следует из Th.1 при . При .

Th.2 (Инвариантность формы записи первого дифференциала)

Пусть y=g(x) – дифференцируема в точке - дифференцируема в точке

1. Сложная функция y=g(x(t))=F(t) – дифференцируема в точке .

2. (Б/Д).

ЗАМЕЧАНИЕ.

Пусть функция f(x), дифференцируема во всех точках некоторого открытого множества . Тогда в каждой точке можно вычислить дифференциал: .

Он будет функцией 2n переменных причем при

фиксированных дифференциал есть линейная функция . Правила дифференцирования такие же, как и для функции одной переменной.

а)

б)

в) , если .

Докажем б).

Из Th о дифференцируемости сложной функции следует, что функция

U(x)V(x) дифференцируема, если дифференцируемы U(x) и V(x). Далее имеем: =

= .

ПРИМЕР.

Найти дифференциал функции .

Решение. Пусть , тогда: