§ 2. Предел последовательности в .

Понятие предела сформулированного в п.1 в терминах расстояния переносится естественным образом на случай .

Пусть дана последовательность точек из : .

(1)

df.1 Последовательность (1) сходится к точке , если при .

df.1’ Т.е. , если

т.е. и обозначается:

Th.1 при .

Доказательство:

Т.к. и , причем между элементами: при . при , т.е. эта метрика стремится к нулю тогда и только тогда, когда будет поэлементная сходимость.

Из этой теоремы следует, что остаются справедливыми все теоремы в теории пределов (кроме связанных с неравенствами) для .

§ 3. Функции на .

Пусть множество . Нами были рассмотрены частные случаи функций.

(1)

(1) – действительная функция (скалярная функция) векторного аргумента . .

- есть действительная функция n- действительных переменных.

Нам известна функция , . Векторная функция скалярного аргумента:

;

Известна функция , .

.

Мы будем рассматривать функции вида (1). Точка и . D – область определения функции f(x). называется образом точки M, а M называется прообразом U.

Множество образов обозначается f(D). Если , то .

Если обозначим , то .

§ 4. Предел функции .

Используя понятие расстояния в легко по аналогии с функциями одной переменной, дать определение предела функции .

Пусть определена в .

df.1 (По Гейне)

Число называется пределом функции f в точке , если

(1)

Обозначается:

(2)

.

df.2 (По Коши)

Число называется пределом функции f в точке , если

(3)

(4)

Эти два определения равносильны.

ЗАМЕЧАНИЕ.

Если n=2, т.е. рассматривается функция двух переменных и M(x,y), , то (2).

Если функция двух переменных f(x,y) определена в , а число есть ее предел при , то пишут:

и называют иногда число двойным пределом.

df.3 (Определение предела функции в точке)

Пусть некоторая предельная точка области определения D данной функции от n-переменных.

Число называется пределом этой функции в точке , если , что принадлежащих области определения функции, выполняется условие:

, т.е.

то, что функция f(M) имеет предел в точке записывается так:

или .

§ 5. Непрерывность функций многих переменных.

Пусть и

df.1 (По Гейне)

Функция f называется непрерывной в точке , если , т.е. если:

(1)

df.2 (По Коши)

Функция f называется непрерывной в точке , если

(2)

Будем обозначать непрерывность в точке функцию так:

df.3 Пусть определена в . Полным приращением f в точке называется:

где .

Th.1 (Непрерывность сложной функции)

Пусть , ,

f-непрерывна в точке , , g – непрерывна в непрерывна в точке .

.

Доказательство аналогично функции одной переменной, непрерывной на сегменте. Аналогом сегмента в многомерном случае является замкнутое ограниченное множество (компакт).

Th.2 - непрерывна в точке .

(Б/Д).

Или если функция определена в некоторой окрестности точки M и непрерывна в точке M, то она непрерывна в этой точке по каждой из переменных . Обратное утверждение неверно.

df.4 Пусть , E – компакт - ограничено и замкнуто в .

df.5 Пусть , и f(x) –непрерывна называется непрерывной на E.

Обозначение: .

Функция f(M) называется непрерывной в точке , если предел этой функции в точке существует и равен частному значению .

Заметим, что поскольку , то условие непрерывности функции в точке можно символически записать в виде:

, т.е. для непрерывной в точке функции символ и символ f можно менять местами.

Точки пространства , в которых функция не обладает свойством непрерывности, называются точками разрыва этой функции или если функция неопределенна в точке и не является в ней непрерывной, то говорят, что есть точка разрыва.