Глава 7. Дифференциальное исчисление функций.
§ 1. Основные понятия. Пространство .
(1) Рассмотрим множество действительных чисел
.
○ ●
●
0
M и x – отождествлены.
Расстояние между
точками
равно:
(1)
Множество
вещественных чисел с расстоянием
(метрикой) (1)
называются
пространством
.
В терминах расстояния предел последовательности можно перефразировать так:
(2)
т.е.
(3)
(
● )
-
окрестность точки
.
Рассмотрим обобщение пространства . В тех случаях, когда точки M лежат на плоскости или в пространстве.
II.
(2)
Пространство
.
Рассмотрим множество точек плоскости и введем систему координат.
y
●
●
○ x
Пусть
и
,
тогда расстояние между ними:
(4)
Множество точек плоскости с расстоянием (4) называется пространством .
В этом пространстве естественными являются понятия:
df.1 - окрестностью точки в плоскости называется внутренность круга с центром в точке и радиуса .
y
0 x
df.2
Точка
называется внутренней
точкой этого множества, если окрестность
этой точки содержит только точки,
принадлежащие данному множеству (рис.1).
df.3
Если в
-
окрестности точки
содержатся
точки как принадлежащие D,
так и не принадлежащие этому множеству,
то такая точка называется граничной
(рис.1).
y
M
D
0 x
рис.1
ЗАМЕЧАНИЕ.
Совокупность всех
граничных точек области D
называется
ее границей, и обозначают ее
.
df.4 Множество D называется открытым, если все его точки являются внутренними относительно D.
Пример.
1)
2)
y
x
D
df.5
Множество G
называется связным,
если две любые точки данного множества
можно соединить кривой, все точки которой
данному
множеству.
Несвязное
Связное G
D
df.6 Множество называется ограниченным, если его можно поместить внутри круга конечного радиуса с центром в начале координат.
О
граниченное
Неограниченное
R=M R=M
D D
df.7 Областью называется всякое связное открытое множество точек D.
df.8
Всякая область D
с присоединенной
к ней границей (
)
называется замкнутой
областью и обозначается через
.
(3) Пространство .
Все определения пункта II (2) связаны с понятием и свойствами расстояния между точками на плоскости ХОУ; при этом конкретное выражение для расстояния нигде не появлялось.
Основным было понятие окрестности точки.
Будем рассматривать n чисел, которые называются точками:
(другими словами
n
– мерные
векторы),
(
)
В этой совокупности введем понятие расстояния (метрики), обобщающее (4).
Пусть
,
тогда
df.9 Расстояние (метрикой) между точками называется число:
(5)
df.10 Это множество точек с расстоянием (5) называется пространством . Пространство становится метрическим, если ввести метрику одним из равенств:
ЗАМЕЧАНИЕ.
При n=2
мы получаем
пространство
.
При n=3
мы получаем трехмерное пространство
с обычным (евклидовым) расстоянием.
Все определения предыдущего пункта дословно переносятся на .
Так, например, - окрестность точки это есть:
df.11
n-мерной
сферической
-окрестностью
данной точки
(или открытым шаром радиуса
с центром в этой точке) называется
множество всех точек
с
координатами, удовлетворяющими
неравенству:
или
.
df.12
Предельной точкой данного множества
D
точек пространства
называется такая точка
,
в любой
окрестности
которой имеется хотя бы одна отличная
от
точка
M
этого множества.
df.13
,
в
– предельная точка A
.
df.14
(замыкание множества A),
если
содержит все предельные точки множества
A.
df.15
A
– замкнутое
.
Очевидно, что
A
содержит внутренние (предельные) и
граничные точки
.