Тема 6: Математические модели цифровых систем управления.

Цели: ознакомление с математическими моделями цифровых систем управления.

Задачи: изучить терминологию математического моделирования и дискретных систем.

После изучения темы Вы должны знать:

• Основные термины математического моделирования

• Математическое описание систем дискретного управления

• Модели состояния линейной дискретной системы

Учебная информация: Основные термины математического моделирования. Уточним определения основных терминов математических моделей:

- компоненты системы, которые могут быть вычленены из нее и рассмотрены отдельно;

- независимые переменные, это внешние величины, которые могут изменяться и не зависят от процессов в системе;

- зависимые переменные, значения этих переменных есть результат воздействия на систему независимых внешних переменных;

- управляемые переменные, значения которых могут изменяться пользователем;

- эндогенные переменные, их значения определяются в ходе деятельности внутренних компонент системы;

- экзогенные переменные определяются пользователем и действуют на систему извне.

Построение моделей. При построении любой модели процесса управления желательно придерживаться следующего плана действий:

1) Сформулировать цели изучения системы.

2) Установить наиболее существенные для данной задачи факторы, компоненты и переменные.

3) Учесть тем или иным способом посторонние, не включенные в модель факторы.

4) Осуществить оценку результатов, проверку модели, оценку полноты модели.

Виды моделей. Модели можно делить на следующие виды:

1) Функциональные модели - выражают прямые зависимости между эндогенными и экзогенными переменными.

2) Модели, выраженные с помощью систем уравнений относительно эндогенных величин.

3) Модели оптимизационного типа. Основная часть модели - система уравнений относительно эндогенных переменных. Цель - найти оптимальное решение для некоторого показателя.

4) Имитационные модели - весьма точное отображение процесса или явления. Математические уравнения при этом могут содержать сложные, нелинейные, стохастические зависимости.

С другой стороны, модели можно делить на управляемые и прогнозные. Управляемые модели отвечают на вопрос: “Что будет, если ...?”; “Как достичь желаемого?”, и содержат три группы переменных:

1) переменные, характеризующие текущее состояние объекта;

2) управляющие воздействия - переменные, влияющие на изменение этого состояния и поддающиеся целенаправленному выбору;

3) исходные данные и внешние воздействия, т.е. параметры, задаваемые извне, и начальные параметры.

В прогнозных моделях управление не выделено явно. Они отвечают на вопросы: “Что будет, если все останется по-старому?”

Модели можно делить по способу измерения времени на непрерывные и дискретные. В любом случае, если в модели присутствует время, то модель называется динамической. Чаще всего в моделях используется дискретное время, т.к. информация поступает дискретно. Но с формальной точки зрения непрерывная модель может оказаться более простой для изучения.

Имитационные системы занимают в моделировании особое место. В принципе, любая модель имитационная, ибо она имитирует реальность. Основа имитации (смысл которой мы будем понимать как анализ явления с помощью вариантных расчетов) - это математическая модель.

Имитационная система - это совокупность моделей, имитирующих протекание изучаемого процесса, объединенная со специальной системой вспомогательных программ и информационной базой, позволяющих достаточно просто и оперативно реализовать вариантные расчеты.

Таким образом, под имитацией понимается численный метод проведения машинных экспериментов с математическими моделями, описывающими поведение сложных систем в течение продолжительных периодов времени, при этом имитационный эксперимент состоит из следующих шести этапов:

1) формулировка задачи,

2) построение математической модели,

3) составление программы для ЭВМ,

4) оценка пригодности модели,

5) планирование эксперимента,

6) обработка результатов эксперимента.

Математические методы управления можно разделить на несколько групп:

1) методы оптимизации,

2) методы, учитывающие неопределенность, вероятностно-статистические методы,

3) методы построения и анализа имитационных моделей,

4) методы анализа конфликтных ситуаций (теории игр).

Во всех этих группах можно выделить статическую и динамическую постановки. При наличии фактора времени используют дифференциальные уравнения и разностные методы.

Дискретно представляемые сигналы описываются функциями дискретной переменной. Для описания дискретных систем используются решетчатые функции и разностные уравнения.

Методология моделирования. Моделирование процессов управления предполагает последовательное осуществление трех этапов исследования. Первый - от исходной практической проблемы до теоретической чисто математической задачи. Второй – математическое изучение и решение этой задачи. Третий – переход от математических выводов обратно к практической проблеме.

Решетчатой функцией называется функция, получающаяся в результате замены непрерывной переменной на дискретную независимую переменную, определенную в дискретные моменты времени kТ, k = 0, 1, 2, … Непрерывной функции x(t) соответствует решетчатая функция х(kТ), где Т – период квантования, при этом непрерывная функция является огибающей решетчатой функции. При заданном значении периода квантования Т непрерывной функции x(t) соответствует однозначная решетчатая функция х(kТ). Однако обратного однозначного соответствия между решетчатой и непрерывной функцией не существует, так как через ординаты решетчатой функции можно провести множество огибающих.

Разностные уравнения. Связь между значениями решетчатой функции при разных значениях аргумента определяется с помощью конечных разностей, которые являются аналогами производных в дифференциальных уравнениях.

Разностью первого порядка, или первой разностью, называется разность между последующим дискретным значением решетчатой функции и ее текущим значением: x(k) = x(k+1) – x(k).

Разность первого порядка характеризует скорость изменения решетчатой функции и, следовательно, является аналогом первой производной непрерывной функции.

Разность второго порядка определяется как разность двух соседних разностей первого порядка: ^x(k) = x(k+1) - x(k) = [x(k+2)-x(k+1)] – [x(k+1)-x(k)] = x(k+2) - 2x(k+1) + x(k).

Продолжая аналогично, для разности любого m-го порядка будем иметь: ^mx(k) = ^m-1x(k+1) - ^m-1x(k). ^mx(k) = (-1)ⁿ x(k+m-n) m!/[k!(m-n)!].

Математические модели дискретных систем управления описывают поведение этих систем только в квантованные моменты времени: t_k, k = 0, 1, 2, ... Дискретным представлением непрерывных сигналов u(t), y(t), х(t) являются последовательности: {u(t_k)}, {y(t_k)}, {х(t_k)}. Математические модели дискретных систем устанавливают взаимосвязь между этими последовательностями. Дискретные автоматические системы управления содержат в своей структуре цифровую (дискретную) и аналоговую (непрерывную) части. Для согласования этих частей в системе используются аналогово-цифровой и цифроаналоговый преобразователи (АЦП и ЦАП). АЦП ставит в соответствие непрерывной функции f(t), t ≥ t₀ последовательность {f(t_k)}=f(kt), t=const, k = 0, 1, 2,…}, которую называют решетчатой функцией f_k. В свою очередь, ЦАП осуществляет преобразование последовательности {f_k, k = 0, 1, 2, ...} в некоторую непрерывную функцию, которая является аппроксимацией исходной функции f(t), t ≥ t₀. Часто используют кусочно-постоянную аппроксимацию, поэтому такой преобразователь называют экстраполятором, или фиксатором нулевого порядка.

Вопросы для самопроверки:

1) Основные понятия: основные термины математического моделирования; построение моделей; виды моделей; имитационные системы; теория игр; методология моделирования.

2) Математическое описание систем дискретного управления: решетчатые функции; теорема Котельникова-Шеннона; разностные уравнения; дискретизация автономных систем; дискретное z-преобразование; преобразователь непрерывного сигнала в цифровой код; цифровое вычислительное устройство; передаточные функции ЦВУ; частотные характеристики ЦВУ.

3) Модели состояния линейной дискретной системы: математические модели дискретных систем; построение дискретного представления непрерывной системы; операторная форма модели; решение разностных уравнений; установившийся режим; элементарные звенья дискретных систем; элементарные звенья 1-го порядка; элементарные звенья 2-го порядка; устойчивость дискретных систем; качество дискретных систем управления.