1) Находим общее решение.

2) Придадим одной из свободных переменных ( по очереди) значение 1 , а остальным – 0, получаем р чистых решений, где р – количество свободных переменных.

Д-во. Пусть

Пусть x₁=1,x₂=x₃=…=x_r=0

Эти векторы ЛНЗ т.к. они подсистемы треугольной.

любой вектор их ЛК чтд.

Вопрос № 26.

Решаем систему по м. Гаусса и приходим к трапециевидному виду. В последнем уравнении несколько переменных, одно из которых выражаем через остальные – свободные.

Все предыдущие переменные выражаем через свободные, записываем в виде вектора, что получилось

- общее решение.

Если в общем решении вместо свободных переменных подставить числа, то получим частное решение.

Теорема. Пусть S – неоднородная система уравнений, S₀ – соответствующая ей система линейных уравнений.

Тогда общее решение системы S может быть представлена в виде

Где - общее решение S₀, -частное решение S.

Доказательство.

1) Надо помнить, что решение s

2) Надо найти такое , что

Пусть u=(u₁,u₂,…,u_n)

c=(c₁,c₂,…,c_n)

Т.к. решение S₀, то подставив его в S₀ получаем, что все уравнения превратились в верные равенства.

Мы подставим только в первое (в остальные аналогично)

т.к. решение S, то анологично

тогда

решение S.

Вопрос № 29.

Опр. 1. Векторы и Называются ортогональными, если их скалярное произведение .

Опр 2. Система векторов называется ортогональной, если в ней любые 2 вектора ортогоналны, т.е. при .

Опр.3. Система векторов называется ортонормированной, если она ортогональна и длина каждого вектора равна 1.

Свойства:

1. Нулевой вектор ортогонален любому.

Д-во.

2. Ортонормирована .

Д-во.

Пусть система - ортонормированная, значит, она ортогональная, т.е. при i=j, Но , т.е. .

Пусть (l_i,l_j)=0 , и (l_i,l_j)=1. Т.к. (l_i,l_j)=0, то все векторы попарно ортогональны.

То все векторы попарно ортогональны.

3.

Пусть - ортогональная система ненулевых векторов. Если каждый вектор поделить на его длину, т. е. , то получим ортонормированную систему.

Д-во. Надо показать, что

4. Ортогональная система ненулевых векторов лнз.

Д-во. Составим уравнение ЛЗ

Умножим (1) скалярно на

Теорема. Пусть L- линейная оболочка, натянутая на векторы . Тогда у L есть ортогональный (ортонормированный) базис.

Д-во. Пусть - произвольный базис и, используя, процесс ортогонализации.

Пусть Ясно, что

Найдём , здесь известны, надо найти

Из ортогональности.

ЛК векторов, причём при коэффициент =1≠0.

И получим, что -ЛЗ, но они базисные, они ЛНЗ, т.е.

Покажем, что

- ЛК векторов, при этом коэффициент при равен 1≠0, если =0, то получим - ЛЗ, а они из базиса.

При коэффициент = 1≠0, т.е. будут ЛЗ, если , а они из базиса. И т.д.

Мы построили - ортогональную систему ненулевых векторов. Значит они ЛНЗ. Т.к.их r штух, то они – базис.