X1,x2,…,x4 – неизвестные

a_ij – коэффициенты

b₁,b₂…,b_k – свободные члены.

Решением системы называется такой набор (вектор) чисел (c₁,c₂…,c_n), что, подставив в систему вместо x₁-c₁, вместо x₂-c_2…, вместо x₄-c₄, мы получим верные числовые равенства. Решить систему – это значит найти все её решения.

- Основная матрица системы

- Столбец неизвестных (переменных) - Столбец свободных членов.

Тогда систему (S) можно записать в матричном виде.

АX=В связь.

Если А – квадратная и то

Тогда A^-1AX=A^-1B

EX=A^-1B

X=A^-1B – матричное решение системы.

Правило Камера.

Теорема. Если количество уравнений в системе (S) равно количеству неизвестных n, , то система (S) имеет единственное решение, которое можно найти по формулам Крамера: x_i= , где =detA, получен из В заменой б-го столбца столбцом свободных членов.

Доказательство. Запишем столбец (S) в матричном виде АX=В. Тогда х=А^-1В

(т.к. ,то А^-1 существует).

Рассмотрим

Рассмотрим по первому столбцу.

т.е.

Рассмотрим по второму столбцу.

т.е. и.т.д.

Единственность.

Пусть 2 решения и .

АС=В и АD=B

АС=AD

Умножим слева на А^-1

А^-1АС=А^-1АD

EC=ED C=D. Ч.т.д.

Вопрос № 16.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

Опр.2 системы лин уравнений называется равносложными, если каждое решение первой системы является решением второй системы, и наоборот, решение второй системы является решением первой системы.

Опр. Следующие преобразования системы называется элементарными:

1. поменять местами 2 уравнения.

2. К любому уравнению прибавить любое другое уравнение, умноженное на любое число.

3. Любое уравнение умножить на любое ненулевое число.

4. Поменять местами 2 неизвестных (во всех уравнениях)

5. Убрать из системы нулевое уравнение.

Теорема. При элементарных преобразованиях получаем систему, равносильную данной. ( без док-ва)

Теорема. ( метод Гаусса)

Любая система линейных уравнений может быть приведена с помощью элементарных преобразований ( по методу Гаусса) к одному из 3-х следующих видов:

1. Треугольный. Количество неизвестных равно количеству оставшихся уравнений.

В 1-ом уравнении есть х₁, во втором уравнении х₁ – нет, а х₂ – есть, в третьем уравнении нет х₁х₂, есть х₃ и т.д. в последнем n-ом уравнении есть только х_n.

Такая система имеет единственное решение.

2. Трапециевидный.

Количество неизвестных больше количества оставшихся уравнений.

В остальном, вид как у треугольной системы. Здесь решений бесконечно много.

3.Система с “особым” уравнением. Т.е. с уравнением вида

0 х₁+ 0 х₂+…+ 0 х_n=в 0

Такая система решений не имеет. (т.к. ни один набор (с₁,c₂..,c_n) не обратит это уравнение в верное числовое равенство).

Доказательство:

Рассмотрим систему (S).

Рассмотрим её расширенную матрицу.

Производить преобразования будем не над системой (S), а над её расширенной матрицей.

1шаг. Смотрим на а₁₁, если а₁₁≠0, то умножив первое уравнение ( 1-ую строку) на и прибавив к i-той строке (i=2,3,…,n) занулим первый столбец ниже 1-го места.

Если а₁₁=0, смотрим на весь первый столбец, выбираем в нём ненулевой элемент.

Меняя 2 уравнения (строки) местами, получаем а₁₁≠0. Действуем как описано выше при .В первом столбце обязательно есть ненулевой элемент, т.к. иначе в системе нет х₁.

Получили:

2 шаг.

Смотрим на d₂₂, если d₂₂≠0, то умножим 2-ую строку на и прибавим к i-той (i=3,4,..n) получим во втором столбце ниже второго места нули.

Если d₂₂=0, то смотрим на все остальные d_ij, если среди них нашелся ненулевой, то ставим его на место 22, меняя местами строки и столбцы (переменные). Получим d₂₂≠0 и действуем, как описано выше.

Если все d_ij=0, то смотрим , если все =0, то получим трапециедальный вид с одним уравнением. Если среди нашелся ≠0, то система имеет “Особое” уравнение. Следовательно, решений нет.

Получили