3 Шаг. Смотрим на и т.Д.

В случае треугольного вида

Из последнего уравнения подставляем в предпоследнее, находим x_n-1 и т.д. находим х_1. Очевидно, что решение единственно.

В случае трапециидального вида последнее уравнение имеет его

Нельзя из этого уравнения выразить все переменные. Значит, выразим х_r через X_r+1,..X_n. При этом X_r+1,..X_n – свободные переменные. Остальные переменные х₁, х₂,…,x_r-1 выражаются через X_r+1,..X_n. Уравнений осталось r неизвестных, у нас n. Свободных n-r.

Значит решений бесконечно много, т.к. свободные переменные принимают бесконечно много значений – произвольные значения.

Вопрос № 17.

Определение.

Вектором мы назовём элемент из

Т.е. упорядоченный набор чисел

Зададим сложение векторов.

Зададим умножение вектора на число.

Два вектора равны, если у них одинаковые координаты.

Определение.

Линейной комбинацией векторов (Л.К.) называется выражение вида

числа.

Л.к. векторов – это вектор.

Система векторов называется линейно зависимой (ЛЗ), если существуют такие числа не все равные нулю, что

.

Определение. Система векторов называется линейно независимой (ЛНЗ), если из того, что следует .

Т.е. для того, чтобы определить, зависимы или нет векторы

Нужно решить векторное уравнение – уравнение линейной зависимости

Если такое уравнение имеет ненулевое решение, то векторы ЛЗ, а если только нулевое – то ЛНЗ.

Общее решение (x₁,x₂,-x₁) есть нулевое (2,2,-2) ЛЗ.

(Критерий ЛЗ)

1⁰ Система векторов ЛЗ хотя бы один из векторов ЛК остальных.

Доказательство.

Пусть система -ЛЗ, тогда существуют числа не все равные нулю (пусть ), что

Отсюда

Значит а₁-ЛК остальных.

Пусть -ЛК остальных.

. Тогда

Нашлись числа не все равные нулю, значит система -ЛЗ.

2⁰ Система, состоящая из одного вектора ЛЗ вектор нулевой.

Доказательство. Пусть {a₁}- ЛЗ, значит, существуют числа , не все равные нулю, т.е. , что значит

Пусть {0} , тогда , т.е. нашлись числа , не все равные нулю, но ЛК – нулевая, значит, система {0} ЛЗ.

3⁰ Система, состоящая из 2-х векторов ЛЗ векторы коллинеарны (пропорциональны т.е. ).

Доказательство. Пусть -ЛЗ. Тогда существуют числа не все равные нулю, пусть , что . Значит т.е. т.е. они коллинеарны.

Пусть векторы - коллинеарны, тогда , тогда .

Нашлись числа не все равные нулю, а ЛК – нулевая, значит система -ЛЗ.

4⁰ Если система содержит ЛЗ подсистему , то вся система ЛЗ.

Д-во.

Т.к. подсистема - ЛЗ, то существуют числа не все равные нулю, что Но тогда .

Значит, нашлись числа не все равные нулю, что ЛК нулевая.

5⁰ Пусть система - ЛНЗ, а система - ЛЗ, тогда -ЛК.

.

Д-во. Т.к. система -ЛЗ, то существуют числа не все равные нулю что

Покажем, что . Если , то среди есть ненужное число, тогда .

Но это означает, что -ЛЗ, что противоречит условию. Значит .

Тогда . Ч.т.д.

Из свойства 4 есть следствия.

След-е1. Система, содержащая нулевой вектор, Лз.

Она содержит {0} - ЛЗ подсистему

({0}ЛЗ по 2º).

Следствие2.

Система, содержащая 2 коллинеарных вектора, ЛЗ.

Д-во. Рассмотрим подсистему , состоящую из 2-х коллинеарных векторов, по 3⁰ она ЛЗ, значит вся система ЛЗ.

Следствие 3. Если вся система ЛНЗ, то любая её подсистема ЛНЗ.

Д-во. Если бы у системы была ЛЗ подсистема, то вся система была бы ЛЗ, а это не так.