2 Шаг. Смотрим на . Если , то зануляем второй столбец ниже второго места.

Умножим вторую строку на и прибавим к i-той строке .

Если . То посмотрим на элементы второй строки, если среди есть ненулевой, то меняя местами столбцы, ставим его на место 22, и действуем как описано выше. Если во второй строке нет ненулевых элементов, то определитель содержит нулевую строку и значит, он равен нулю.

Получим после 2-ого шага

3 шаг. См. и.т.д.

В результате либо получим нулевую строку, либо примет треугольный вид.

Вопрос № 12.

Определитель транспонированной матрицы.

Теорема. При транспонировании определитель не меняется.

Доказательство:

Рассмотрим и .

Применим к Метод Гаусса.

Одновременно будем применять преобразования к .

То, что мы делали со строками в , в – делаем со столбцами. И наоборот, то что в делаем со столбцами, то в – со строками.

У и на главной диагонали стоят одинаковые элементы.

Когда мы приведем к верхнетреугольному виду, приведется к нижнетреугольному виду.

Они оба равны произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

А у них там стоят одинаковые элементы.

Вопрос № 13Обратная матрица.

Только для квадратных матриц.

Определение. Матрица В называется обратной к матрице А, если АВ=ВА=Е

Обозначение В=А^-1.

1. Из определения видно, что если в- обратная к а, то а – обратная к в.

Т. е. В=А^-1, значит В^-1=(А^-1)=А.

2.Если матрица а имеет обратную, то она единственна.

Доказательство:

Пусть Х и У – 2 обратные для А

Тогда АХ=ХА=Е

АУ=УА=Е

Рассмотрим ХАУ=Х(АУ)=ХЕ=Х

ХАУ=(ХА)У=ЕУ=У. Следовательно Х=У.

3. Если матрицы А и В имеют обратные, то (АВ) имеет обратную, причем (АВ)^-1=В^-1А^-1.

Доказательство.

(А В)(АВ)^-1 = АВВ^-1А^-1 = (А(ВВ^-1 )) А^-1 = (А Е) А^-1 =АА^-1 =Е

(АВ)^-1 (АВ)=(В^-1(А^-1А))В=(В^-1Е)В=В^-1В=Е.

Обратную матрицу можно найти по методу Гаусса с помощью следующих элементарных преобразований строк.

1. Поменять 2 строки местами.

2. Умножить строку на ненулевое число.

3. К любой строке прибавить любую другую строку, умноженную на любое число.

Для этого выписываем, матрицу А. К ней справа приписываем единичную матрицу того же порядка. Над А производим преобразования по методу Гаусса, приводим её сначала к верхнетреугольному виду, а затем (обратный ход) к диагональному виду. При этом с единичной матрицей приводим те же самые преобразования, что и с матрицей А. Когда на месте А получим Е, то на месте единичной получим А^-1.

Вопрос № 14.

Явная формула обратной матрицы. Критерий обратимости.

Теорема 1. Определитель произведения матриц равен произведению определителей.

det(AB)=detA detB ( без доказательства)

Теорема2. (Критерий обратимости).

Матрица А имеет обратную тогда и только тогда, когда .

Доказательство.

Дано .

Доказать

Т.к. , то АА^-1=Е.

Значит det(AA^-1)=detE=1

detA⁰detA^-1=1

Следовательно .

Дано .

Доказать .

Выпишем явную формулу обратной матрицы.

Докажем, что эта формула действительно дает обратную матрицу. (Возьмем n=3).

т.к. это разложение по 1-ой строке. (Элементы 1-ой строки умножаются на алгебраические дополнения).

Элементы 1-ой строки умножаются на алгебраические дополнения к элементам 2-ой строки.

Применяется теорема о разложении по любому столбцу. На месте 11 стоят элементы первого столбца и алгебраические дополнения к первому столбцу, на месте 22 – элементы и алгебраические дополнения второго столбца, на 33 – элементы третьего столбца, а дополнение к третьему столбцу.

Вопрос № 15.

Системой линейных уравнений называется