2. Пусть теорема 3’ справедлива для определителей порядка n-1.

3. Рассмотрим: Пусть 2-ой столбец в виде суммы.

- это определитель порядка n-1, у 1 столбец представлен в виде суммы по индукционному предположению

Вопрос № 7.

Теорема о разложении по первой и второй строке.

Теорема 4.

Доказательство:

(Из определения) - определитель. Следовательно, его можно вычислить разложением по его первой строке.

(2) подставим в (1)

Рассмотрим 2-ое слагаемое в (3).

Назовем j - k , а k назовем j.

Заметим, что

Подставим (4) в (3).

Осталось заметить, что Ч.Т.Д.

Вопрос № 8.

Теорема 5. Изменение определителя при перестановке строк (столбцов).

Если в определителе поменять местами 2 строки то знак определителя изменится на противоположный. (а модуль не изменяется).

Доказательство: ММИ.

1 шаг.

2 шаг.

Пусть теорема доказана для определителей порядка n-1.

3 шаг.

Рассмотрим определитель порядка n.

1 случай. Меняем местами 1-ую и 2-ую строки.

Применяем теорему о разложении по 1-ой и 2-ой строке.

2 случай. Меняем местами 2 любых кроме 1-ой.

в миноре есть 2 строки, поменянных местами. Следовательно, по индукционному предположению ,

3 случай. Меняем местами 1-ую и любую, кроме 2-ой.

Таким образом мы научились менять 2 любые строки, при этом знак меняется.

Теорема 5’.

Если в определителе поменять местами 2 столбца, то знак определителя изменится на противоположный.

Доказательство: ММИ.

1. Для n=2 самостоятельно.

2. Пусть теорема справедлива для определителей порядка n-1.

3. Рассмотрим определитель порядка n.

А) Меняем местами два соседних столбца:

Заметим, что определители порядка n-1, для них теорема верна подставим

б) для не соседних самостоятельно.

Следствие 1.

Если в определителе два одинаковых столбца, то он равен нулю.

Доказательство: Поменяем два одинаковых столбца местами. Знак изменится, но определитель не изменится. (т.к. столбцы одинаковые ).

Следствие 2.

Если в определителе 2 пропорциональных столбца, то он равен нулю.

Доказательство: Вынесем коэффициент пропорциональности за знак определителя.

Получим 2 одинаковых столбца. Значит, определитель равен нулю. (по следствию 1).

Следствие 3.

Если к любой строке определителя прибавить любую другую строку, умноженную на любое число, то определитель не изменится.

Доказательство: n=3.

Вопрос № 9.

Теорема 6. О разложении определителя по любой строке.

1. 2.

(Сумма произведений элементов i-той строки на их алгебраические дополнения равна определителю, а сумма произведений i-той строки на алгебраические дополнения к элементам k-той строки равна нулю).

Здесь

Доказательство: