1 Способ. Через нормаль.

Угол между прямыми на плоскости равен углу между их нормалями, как углы со взаимно перпендикулярными сторонами.

Условие параллельности.

Условие перпендикулярности.

2 Способ. Через направляющие векторы.

Угол между прямыми равен углу между их направляющими векторами, как углы со взаимно параллельными сторонами.

Условие параллельности.

Условие перпендикулярности

3 Способ. Через условие коэффициента

Условие параллельности.

Вопрос № 36.

Общее уравнение плоскости в пространстве.

Теорема. 1) Любая плоскость в пространстве задается уравнением вида Ах+ Ву+ Cz+D=0

2) любое уравнение вида Ах+ Ву+ Cz+D=0 задает в пространстве плоскость.

Д-во. 1) Рассмотрим плоскость 2 . Пусть М₀(х₀, у₀, z₀) – точка в плоскости 2.

- произвольный вектор, перпендикулярный альфа – нормаль к альфа. М(x,y,z) текущая точка плоскости альфа.

Плоскость альфа является ГТМ М(x,y,z) таких, что

Из условия перпендикулярности 2-х векторов (их скалярное произведение=0), получаем

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0 Где (А,В,С) М₀ М₀=(х-х₀,у-у₀, z-z₀)

Уравнение плоскости, проходящей через данную точку М₀(х₀, у₀, z₀) перпендикулярно данному вектору

2) Дано уравнение Ах+ Ву+ Cz+D=0 (1) Пусть (х₀, у₀, z₀) – решение данного уравнения М₀(х₀, у₀, z₀) – соответствующая точка.

Т.к. (х₀, у₀, z₀) – решение (1), то Ax₀+By₀+Cz₀+D=0 – Верное равенство

D=-Ax₀-By₀-Cz₀

В (1) подставим D

Ax+By+Cz- Ax₀-By₀-Cz₀=0

A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)=0

(A,B,C) (х-х₀,у-у₀, z-z₀)=0 (2)

(2) условие перпендикулярности вектора (А,В,С) и набора векторов (х-х₀,у-у₀, z-z₀).

Тогда (2) уравнение плоскости. (набор и есть данная плоскость). Итак, (2) задает плоскость, но (1) – это (2). Значит (1) задает плоскость.

Уравнение плоскости, проходящей через 3 данные точки.

Пусть М₁(х₁,у₁, z₁) M₂(x₂,y₂,z₂) M₃(x₃,y₃,z₃) – 3 данные точки. Через три любые точки проходит единственная плоскость.

М(х,у,z)- текущая точка плоскости альфа.

Сопоставим векторы

Условие того, что М₁, М₂, М₃, М лежат в общей плоскости – компланарность векторов

(Компланарные векторы – векторы, лежащие в одной плоскости)

Теорема. Три вектора компланарны. Их смешанное произведение =0 (без док-ва).

Смешанное произведение

Т.е. уравнение плоскости, проходящей через точки М₁, М₂, М₃, имеет вид

Опр. Векторным произведением 2-х векторов называется такой вектор

1) Направлен так, что глядя из его конца, мы видим поворот от вектора а к вектору в в сторону наименьшего угла против часовой стрелки.

2)

Опр. Смешанное произв. Число

Нормальное уравнение плоскости.

Расстояние от точки до плоскости.

Теорема1. Расстояние от точки М₀(х₀, у₀, z₀) до плоскости альфа можно вычислить по формуле

Рассмотрим общее уравнение плоскости AX+BY+CZ+D=0 поделим обе части на

Теорема 2. Если в нормальное уравнение плоскости подставить координаты точки М₀(х₀, у₀, z₀), то получим ± расстояние от точки М₀ до плоскости.

Д-во. Смотреть формулу d.

Теорема. Угол между плоскостями равен углу между их нормалями.

Любая прямая в пространстве может быть получена как пересечение 2-х параллельных плоскостей, т.е. общее уравнение прямой имеет вид

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через данную точку, параллельную вектору. См. Ур-е прямой через данную точку параллельно данному вектору на плоскости.

Уравнение прямой в пространстве. Через 2 данные точки М₁(х₁,у₁, z₁) и M₂(x₂,y₂,z₂)

Угол между прямыми в пространстве равен углу между их направляющими векторами.

Запишем прямые в канонической форме.

Условие параллельности

Условие перпендикулярности

Расстояние от точки до прямой в пространстве.

Если М₀(х₀, у₀, z₀) є х, то d=0

Пусть

Проведём плоскость альфа через точку М₀, перпендикулярно х.

Запишем Ур-ие плоскости с данной нормалью, проходящей через данную точку

p(x-x₀)+q(y-y₀)+c(z-z₀)=0

Решаем систему

Взаимное расположение трёх плоскостей в пространстве.

Решаем систему методом Гаусса.

Основная матрица

Расширенная

1) 1 решение. 3 плоскости пересекаются по общей точке.

2) бесконечно много решений.

Осталось 2 ур-ия, 2 ур-ия задают прямую, значит, 3 плоскости пересеклись по общей прямой: либо 2 совпали, а 3-я их пересекла, либо они все пересеклись “снежинкой”

3) бесконечно много решений. Осталось 1 ур-ие. Значит, все 3 плоскости совпали

4) решений нет. Возможны варианты.

Вопрос № 42.

Расстояние между прямыми на плоскости.

На плоскости 2 прямые могут

1. совпадать

тогда расстояние между ними =0.

2. пересекаться

3. Быть параллельны. Тогда на одной прямой возьмём точку и найдём расстояние от неё до другой прямой.

(по формуле )

Расстояние между прямыми в пространстве.

В пространстве 2 прямые могут

1) пересекаться

- расстояние между ними =0.

2) совпадать

3) быть параллельны. Тогда находим на 1-ой прямой точку и ищем расстояние от этой точки до 2-ой прямой.

(задача о расстоянии от точки до прямой в пространстве)

4) быть скрещивающимися.

Тогда расстояние равно длине взаимного перпендикуляра.

Возьмём 2 любые точки на 1-ой прямой А₁(х₁,у₁) и В(х₂,у₂), и 2 любые точки С и D на 2-ой прямой.

Построим 2 вектора

Рассмотрим вектор и на 3-х векторах построим параллелепипед.

Из точки С опустим перпендикуляр на прямую АВ₁ на х₁.

Тогда искомое расстояние

Одновременно

Объем параллелепипеда равен ± смешанному произведению трёх векторов, на которых построен параллелепипед.

Площадь основания равна длине (модулю) векторного произведения векторов, на которых построен параллелограмм основания.

По четырём точкам A, B, C, D параллелепипед строится неоднозначно.

Что будет, если В соединим не с С, а с D