59.Метод максим.Правдоподобия.

В основе его лежит понятие функции правдоподобия. Идея состоит в том, чтобы вероятность получения данной выборки x₁, x₂, ..., x_n была бы наибольшей для найденного параметра.

Определение. Пусть ξ – некоторая случайная величина, а x₁, x₂, ..., x_n – выборка значений случайной величины ξ.

Если ξ – непрерывная случайная величина с плотностью вероятности p_ξ(x, θ), зависящей от неизвестного параметра θ, то функцией правдоподобия её называется функция

Если же ξ – дискретная случайная величина, и P(ξ=x_i) = P_ξ(x_i, θ) зависит от неизвестного параметра θ, то её функцией правдоподобия называется функция

Метод наибольшего правдоподобия состоит в том, что в качестве оценки неизвестного параметра θ принимается такое значение аргумента θ, при котором функция L принимает своё максимальное значение для данной выборки x₁, x₂, ..., x_n.

Такое значение аргумента θ является функцией от x₁, x₂, ..., x_n и называется оценкой наибольшего правдоподобия.

Итак, есть оценка наибольшего правдоподобия, если

Т.е. задача нахождения оценки неизвестного параметра сводится к нахождению максимума функции правдоподобия. Согласно правилам дифференциального исчисления, для этого нужно решить уравнение

(1)

называется уравнением правдоподобия, и отобрать то значение , которое образует L в максимум.

Вместо уравнения (1) иногда бывает удобнее решать уравнение

(2)

В силу монотонности логарифмической функции ln L достигнет своего максимума при том же значении θ, что и L.

58.Метод иоиентов.

Метод моментов предложен К. Пирсоном. Он состоит в следующем:

Пусть ξ – некоторая случайная величина, закон распределения которой содержит S неизвестных параметров: .

1 шаг. Вычисляем S первых теоретических моментов распределения по известным формулам: 1-го порядка, 2-го порядка, и т.д., S-го порядка. Все полученные моменты являются функциями неизвестных параметров:

α_k(θ₁, θ₂, ..., θ_s) = M(ξ^k), где k=1, 2, ..., S

Подчеркнём, что вычисляется столько моментов, сколько неизвестных параметров.

2 шаг. По результатам наблюдений x₁, x₂, ..., x_n случайной величины ξ вычисляется столько же выборочных моментов, т.е.

, где к=1,2,…,S

Т.к. все значения x₁, x₂, ..., x_n нам даны, то величины находятся точно.

3 шаг. Приравнивая теоретические моменты соответствующие выборочным моментам, получаем систему S уравнений с S неизвестными :

Решая систему относительно , находят искомые оценки . На практике этот метод часто приводит к сравнительно нетрудным вычислениям. Однако, следует отметить, что оценки, полученные с помощью метода моментов не всегда являются эффективными и несмещенными.

62.Проверка статистических гипотез.

Статистической гипотезой называется всякое непротиворечивое множество утверждений {Н0, Н1, … , Hk-1} относительно свойств распределения случайной величины. Любое из утверждений Hi называется альтернативой гипотезы. Простейшей гипотезой является двухальтернативная: {H0, H1}. В этом случае альтернативу H0 называют нулевой гипотезой, а H1- конкурирующей гипотезой.

Проверка гипотезы о равенстве вероятностей. Пусть произведено две серии опытов, состоящих соответственно из n1 и n2 опытов. В каждом из них

регистрировалось появление одного и того же события А. В первой серии событие А появилось в k1 опытах, во второй – в k2 опытах, причем частота

события А в первой серии получилась больше, чем во второй: