3. Функция плотности состояний электронов и дырок

Для определения числа частиц, имеющих энергию в заданном интервале, необходимо, кроме функции распределения , знать функцию плотности состояний . Эта функция описывает распределение уровней в соответствующих зонах и определяет число уровней, приходящихся на единичный интервал энергии. По определению

(8)

Здесь, как и раньше, dZ- число возможных состояний ансамбля частиц (число уровней) с энергией, заключенной в интервале отEдоE+dE. Функциюg(E)вычислим для кубического кристалла со сторонойL. Энергия электрона у дна зоны проводимости(Е(к) дать рисунок) приближенно может быть представлена в виде

(9)

здесь энергия дна зоны проводимости, - эффективная масса электрона у дна зоны проводимости,k- квазиимпульс электрона, - его компоненты. Согласно граничным условиям, компоненты квазиимпульса могут принимать только следующие дискретные значения энергии:

 

Каждому набору чисел n_x,n_y,n_zотвечает некоторое квантовое состояние (квантовый уровень). В пространстве волновых векторов каждому квантовому состоянию соответствует объем , гдеV- объем кристалла. Эти элементарные кубические ячейки займут в пространстве волновых чисел объем шара радиусомk, соответствующего максимально возможному значению модуля волнового вектора. Выделим шаровой слой, заключенный между двумя поверхностямиk=constиk+dk =const. Объем этого слоя составляет . Разделив этот объем на объем элементарной ячейки и умножив на 2, поскольку в каждом состоянии могут находиться по два электрона с противоположно направленными спинами, получим число состояний в объеме шарового слоя:

(10)

Согласно (9)

 

Подставляя значения k² иdkв формулу (10), получим

.

Учитывая (8), получим окончательное выражение для плотности квантовых состояний электронов у дна зоны проводимости:

(11)

Энергию дырок у потолка валентной зоны можно записать также в виде параболического закона:

(12)

где E_v- энергия потолка валентной зоны, - эффективная масса дырки. Вычисления, аналогичные тем, которые были проведены выше для электронов, приводят к следующему выражению для функции плотности состояний дырок вблизи потолка валентной зоны:

(13)

Следует подчеркнуть, что формулы (11) и (13) справедливы только для состояний вблизи экстремумов энергии, т.е. у дна или потолка энергетической зоны. В средней же части зоны точный вид функции g(E) неизвестен. На рис. 4 схематически представлены зависимости плотности квантовых уровней вблизи дна зоны проводимости и потолка валентной зоны.

Рис. 4. Плотность уровней в зоне проводимости и в валентной зоне

Площадь заштрихованных областей пропорциональна числу уровней dZв интервале энергийdE

4. Концентрации электронов и дырок в полупроводнике. Закон действующих масс. Невырожденный газ электронов и дырок

Вычислим концентрацию электронов в зоне проводимости полупроводника. Число электронов dN, находящихся вdZсостояниях энергетической зоны в соответствии с уравнением (1) определяется выражением

.

Учитывая, что dZ = g(E) dE, получим

(14)

Общее число электронов в зоне проводимости найдем, проинтегрировав выражение (14) в пределах зоны

(15)

здесь Е_п- энергия потолка зоны проводимости. Поскольку функция распределения Ферми-Дирака очень быстро уменьшается с увеличением энергии, то верхний предел интегрирования можно взять равным бесконечности. Если степень заполнения энергетических состояний электронами в зоне проводимости мала (f(E)<< 1), что практически всегда имеет место в полупроводниках, то единицей в знаменателе формулы (4) можно пренебречь. При этих условиях подстановка функцийf(E)иg(E)в уравнение (15) приводит к следующему выражению для концентрации электронов в зоне проводимости:

 

(16)

Преобразуем теперь выражение (16) к виду

.

Произведем замену переменных в подынтегральном выражении

В результате получим

.

Интеграл в этом выражении равен . Следовательно

(17)

где

(18)

Величину N_cназываютэффективной плотностью состояний в зоне проводимости. Аналогично можно вычислить концентрацию дырок в валентной зоне. Поскольку вакантное состояние в валентной зоне образуется в результате перехода электрона из этого состояния в зону проводимости, то вероятность того, что состояние с энергиейЕв валентной зоне не занято, равна .

Тогда концентрация дырок

здесь E_v- потолок валентной зоны.

При условии, что газ дырок невырожденный, получим

(19)

где эффективная плотность состояний в валентной зоне

(20)

Перемножая выражения (17) и (19), получим

(21)

где n_i- концентрация собственных носителей заряда в полупроводнике,E_g=E_c E_v- ширина запрещенной зоны.

Соотношение (21) называется законом действующих масс. При выводе этого закона использовано предположение о том, что степень заполнения энергетических уровней носителями заряда много меньше единицы. Такой газ носителей называетсяневырожденным, а полупроводники -невырожденными.

В общем случае вырожденным газом в физике называется газ, свойства которого отличаются от свойств идеального классического газа вследствие квантово - механических свойств частиц газа. Вырожденный газ подчиняется квантово - механическим статистикам Ферми-Дирака или Бозе -Эйнштейна, невырожденный газ - статистике Максвелла - Больцмана. Условием перехода газа в невырожденное состояние является выполнение неравенства f(E)<< 1. Можно показать, что это условие для электронного газа эквивалентно следующему соотношению:

(22)

Аналогичное соотношение справедливо и для дырок с заменой nнаpи на.

Вопрос о том, является газ носителей заряда в кристалле вырожденным или невырожденным определяется только его концентрацией и температурой. Подстановка численных значений величин, входящих в неравенство (22), приводит к выводу о том, что при комнатной температуре (Т~ 300К) газ носителей будет невырожденным, если его концентрация значительно меньше 10²⁵м^-3(10¹⁹см^-3). Это условие выполняется практически для всех полупроводников. Поскольку концентрация электронов в зоне проводимости металлов превышает 10²⁸м^-3(10²²см^-3), то электронный газ металлов всегда является вырожденным.

Таким образом, закон действующих масс выполняется для любого невырожденного полупроводника независимо от роли примесей, т.е. в любом невырожденном полупроводнике увеличение концентрации носителей одного знака приводит к уменьшению концентрации носителей противоположного знака. Следует отметить также, что произведение электронной и дырочной концентраций не зависит от положения уровня Ферми.