2. Функция распределения Ферми-Дирака. Уровень Ферми. Энергия Ферми. Влияние температуры на распределение Ферми-Дирака

Функция распределения Ферми-Дирака, описывающая распределение фермионов по состояниям, имеет следующий вид:

(4)

здесь E_F- химический потенциал системы фермионов, т.е. работа, которую необходимо затратить, чтобы изменить число частиц в системе на одну. В случае электронов величинаE_Fназываетсяэнергией Ферми.

Рассмотрим вид функции Ферми-Дирака при температуре, стремящейся к абсолютному нулю. Как нетрудно видеть из формулы (4), для любой энергии частицы, большей энергии Ферми, экспонента в знаменателе стремится к бесконечности при , следовательно,f(Е)стремится к нулю. Это значит, что все энергетические состояния сЕ > E_Fсовершенно свободны при абсолютном нуле. ЕслиЕ < E_Fпри ,f(E)стремится к единице. Это значит, что все квантовые состояния с энергией, меньше энергии Ферми, полностью заняты электронами. Отсюда понятен физический смысл энергии Ферми как параметра распределения электронов по состояниям:энергия Ферми есть максимально возможная энергия электронов в металле при температуре абсолютного нуля. Энергетический уровень, соответствующий энергии Ферми, называетсяуровнем Ферми.

Вид функции распределения Ферми-Дирака при Т = 0Кпредставлен на рис. 2а. На рис. 2б показано распределение электронов по энергетическим уровням в зоне проводимости металла при этой же температуре.

Рис. 2. Функция распределения Ферми-Дирака (а) и распределение электронов в зоне проводимости металла при Т=0К (б)

Если Т  0К, то при энергии частицы, равной энергии Ферми, функция распределения Ферми-Дирака равна1/2. Это значит, что при любой температуре, отличающейся от абсолютного нуля, уровень Ферми заполнен наполовину. Вид функции Ферми-Дирака для двух различных температур показан схематически на рис. 3. Изменение характера распределения электронов по состояниям связано с тепловым возбуждением электронов. При этом часть электронов переходит в состояния с энергиями, большей энергии Ферми.

Соответственно часть состояний ниже уровня Ферми оказывается свободной. В результате функция f(E)"размыта" вблизи энергии Ферми. Тепловому возбуждению подвергается незначительная часть электронов, находящихся вблизи уровня Ферми. Функция Ферми-Дирака заметно отличается от вида, который она имела при абсолютном нуле, лишь при Величина "размытия" пропорциональна температуре (рис. 3). Чем выше температура, тем более существенному изменению подвергается функция распределения.

Рис. 3. Функция распределения Ферми-Дирака при Т>0K

При условии

(5)

экспонента в знаменателе становится значительно больше единицы в формуле (4). В этом случае единицей можно пренебречь и распределение Ферми-Дирака преобразуется к виду

(6)

Выражение (6) совпадает по форме с функцией распределения Максвелла-Больцмана.

Вероятность того, что некоторый энергетический уровень с энергией Есвободен, т.е. занят дыркой, равна

(7)

Таким образом, функция распределения Ферми-Дирака для дырок аналогична функции распределения для электронов, если в ней изменить знаки показателей экспонент. Это хорошо согласуется с представлением о том, что дырки являются носителями положительного заряда.

Газ носителей заряда, подчиняющийся статистике Ферми-Дирака, называется вырожденным. Если носители заряда подчиняются статистике Максвелла-Больцмана, то они называютсяневырожденными.