Практическое задание №2 Принцип представления чисел в позиционных системах счисления

Цель работы:

• познакомиться с понятиями систем счисления, изучить их виды.

• научиться переводить числа из различных систем счисления в десятичную, и наоборот, десятичную в любую другую.

• научиться производить сложение и вычитание двоичных чисел.

• научиться получать прямой, обратный и дополнительный коды.

ТЕОРИТИЧСКАЯ ЧАСТЬ

Позиционной называется система счисления, в которой вес разряда числа определяется его позицией в записи числа [1].

Основание системы счисления - это число, равное количеству знаков, которые используются в этой системе для записи чисел.

Название системы счисления	Основание системы счисления	Знаки, использующиеся для записи чисел
Двоичная	2	0, 1
Троичная	3	0, 1, 2
Четверичная	4	0, 1, 2, 3
Восьмеричная	8	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
Десятичная	10	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
Шестнадцатеричная	16	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Перевод из различных систем счисления в ДЕСЯТИЧНУЮ.

Из двоичной:

10111,01₂=1*2⁴ + 0*2³+ 1*2²+ 1*2⁰+ 0*2^-1+ 1*2^-2=16+4+ + 2+1+1/4=23,25₁₀

Из восьмеричной:

302,02₈= 3*8²+0*8¹+2*8⁰+0*8^-1+2*8^-2=3*64+2*1+ + 2*1/64≈ 194,03₁₀

Из шеснадцатеричной:

1Е,03₁₆ = 1*16¹ + 14*16² + 0*16^-1 + 3+16^-2 =

= 16 + 14+ 3*1/16²≈ 30,01¹⁰

Перевод из ДЕСЯТИЧНОЙ системы в любую другую.

26₁₀=11010₂ 123₁₀=173₈

По данному примеру аналогично можно перевести любое число в любую систему счисления.

Двоичное сложение

В простейшем случае, для одноразрядных чисел, правила двоичного сложения имеют вид:

Но бывают случаи, когда приходится складывать несколько единиц, например, 1+1=10 (0 пишем, 1 запоминаем), долее может сложиться такая ситуация: 1+1+1=11 (1 пишем, 1 запоминаем), и т.д.

Многоразрядные числа складываются по тем же правилам, но при этом учитывается входной перенос в каждом разряде: выходной перенос младшего разряда является входным переносом для соседнего старшего разряда. Рассмотрим несколько примеров сложения многоразрядных чисел.

Двоичное вычитание

Здесь рассматриваются правила, работающие в случае вычитания меньшего числа из большего. В простейшем случае, для каждого разряда, правила двоичного вычитания имеют вид:

Когда производится вычитание ( 0-1 ) осуществляется займ из более старшего разряда. Знак вопроса означает, что разряд уменьшаемого изменяется в результате займа по правилу:

При вычитании (0 - 1) в разряде разности получается 1, разряды уменьшаемого, начиная со следующего, изменяются на противоположные (инвертируются) до первой встречной единицы (включительно). После этого производится вычитание из измененных разрядов уменьшаемого.

Двоичная арифметика с учетом знаков чисел

Прямой, обратный и дополнительный коды

В двоичном коде знак числа представляет собой разряд, приписываемый слева от значащих разрядов числа. Знак " + " обозначается логическим , знак " - " логической 1. Для наглядности все примеры будем рассматривать для целых чисел, отделяя знаковый разряд точкой.

Прямой код (ПК) и для отрицательных, и для положительных чисел образуется одинаково, простым дописыванием знакового разряда, доводим число да 8-разрядной формы.

Обратный код (ОК) для положительных чисел совпадает с прямым, т.е. к значащим разрядам приписывается знаковый разряд. Для отрицательных чисел значащие разряды инвертируются (нули заменяются на единицы, единицы - на нули), после чего приписывается знак.

Для того же числа обратный код имеет вид:

 (+10) = 0,0001010, (-10) = 1,1110101.

Дополнительный код (ДК) для положительных чисел совпадает с обратным и прямым, т.е. к значащим разрядам приписывается знаковый разряд. Для отрицательных чисел дополнительный код на 1 больше, чем обратный. После образования значащих разрядов приписывается знаковый разряд.

Двоичная арифметика в дополнительном коде

При решении во избежание типовых ошибок рекомендуется придерживаться следующей последовательности действий. Допустим, заданы два десятичных числа, тогда необходимо:

1. перевести десятичные числа в двоичный код;

2. уравнять форматы полученных двоичных чисел;

3. если знаки чисел одинаковые, добавить по одному резервному нулю слева от каждого числа во избежание переполнения;

4. получить дополнительные коды чисел;

5. приписать знаковые разряды;

6. сложить полученные коды по правилам двоичного сложения;

Задание:

Два числа, данные Вам преподавателем, необходимо сложить (используя прямой, обратныйи дополнительныйкоды).

Контрольные вопросы:

1. Что называют позиционной системой счисления? Что называют основой системы счисления?

2. Как перевести число из одной системы счисления в другую?

3. Как происходит сложение (вычитание) двоичных чисел?

4. Как получить прямой, обратный и дополнительный коды?