5.2 Комбінатори

Теорія комбінаторів була розроблена ще до створення лямбда-вирахування, але її зручно розглядати саме в термінах лямбда-виразів.

Комбінатором будемо називати лямбда-терм, який не містить вільних змінних. Такий терм є замкненим, він має фіксоване значення незалежно від значень будь-яких змінних.

У теорії комбінаторів установлено, що за допомогою декількох базових комбінаторів і змінних можна виразити будь-який терм без застосування лямбда-абстракції. Зокрема, замкнений терм можна виразити тільки через ці базові комбінатори. Визначимо ці комбінатори таким чином:

I = λx.x, 

K = λx. λy.x, 

S = λf. λg. λx. f x (g x).

Комбінатор I є функцією ідентичності, яка залишає свій аргумент незмінним. Комбінатор K служить для створення константних функцій. Застосовуючи його до аргументу a, одержимо функцію λx.a , яка повертає a незалежно від переданого їй аргументу. Комбінатор S бере дві функції і аргумент і розділяє його між функціями.

Справедлива теорема: для довільного терма t існує терм t', який не містить лямбда-абстракцій і складається з комбінаторів S, K, I і змінних, такий, що F(t' )= F(t) і t'= t.

Цю теорему можна підсилити, оскільки комбінатор I може бути виражений у термінах S і K. Дійсно, для будь-якого A виконується:

S K A x = K x (A x) = (λy.x) (a x) = x.

Після застосування η-редукції одержимо, що для будь-якого A виконується I = S K A. Таким чином, I = S K A і символ I можна виключити з виразів, побудованих з комбінаторів.

Найбільш часто використовують такі комбінатори:

- тотожність I: I f = f ;

- композитор B: B f g x = f (g x) ;

- дуплікатор W: W f x = f x x ;

- пермутатор C: C f x y = f y x ;

- конектор S: S f g x = f x (g x) ;

- канцелятор K: K x y = x .

Множина комбінаторів, через елементи якої може бути виражений будь-який комбінатор, називається базисом. Мінімальна множина таких комбінаторів називається мінімальним базисом.

Наприклад, для базису {K, S} комбінатори B, W, C мають вигляд:

B = S (R S) K, W = S S (K (S K K)),

C = S (BBS) (KK).

Хоча тут комбінатори представлені як деякі лямбда-терми, існують теорії, де вони є базовим поняттям. Формальний синтаксис у цьому випадку замість лямбда-абстракцій використовує комбінатори. Замість правил α, β і η-редукцій вводяться правила редукції для виразів, які містять комбінатори. Як окрема теорія, теорія комбінаторів має багато аналогій з лямбда-вирахуванням. Зокрема, для неї справедлива теорема Черча-Россера.

Комбінатори мають не тільки теоретичний інтерес. Лямбда-вирахування може розглядатися як проста мова функціонального програмуваня, яка складає ядро реальних мов програмування. Лямбда-вирази можуть бути скомпільовані у код, який складається з комбінаторів. Комбінатори дійсно використовуються як метод реалізації функціональних мов не тільки на рівні програмного, але й на рівні апаратного забезпечення.

5.3 Лямбда-вирахування і мови

Покажемо на простих прикладах, як можна реалізувати базові елементи мов програмування за допомогою лямбда-вирахування.

Значення true і false можна визначити як

true = λx. λy.x, false= λx. λy. y .

Використовуючи це визначення , можна побудувати умовну конструкцію:

if E then E₁ else E₂ = E E₁ E₂ .

Дійсно,

if true then E₁ else E₂ = true E₁ E₂ =

= (λx.λy.x) E₁ E₂ = E₁ ,

if false then E₁ else E₂ = false E₁ E₂ =

= (λx.λy. y) E₁ E₂ = E₂ .

Тепер легко визначити логічні оператори:

not p = if p then false else true ,

p and q = if p then q else false ,

p or q = if p then true else q .

Впорядковану пару можна представити таким чином:

(E₁ E₂ ) = λf. f E₁ E₂ ,

а функції для вибору компонент пари:

first (p, q) = (p, q) true, sec (p. q) = (p, q) false .

Дійсно,

first (p, q) = (p, q) true = (λf. f p q) true =

= true p q = (λx.λy.x) p q = p ,

sec (p, q) = (p, q) false = (λf. f p q) false =

= false p q = (λx.λy.y) p q = q .

Натуральне число n можна подати у вигляді:

n = λf. λx.f ⁿ x ,

тобто 0 = λf. λx. x, 1 = λf. λx.f x, 2 = λf. λx.f (f x) і т.д. Таке подання називається цифрами за Черчем.

Додаваня і множення можна ввести за допомогою формул:

m + n = λf. λx. m f (n f x),

m * n = λf. λx. m (n f) x .

Перевіримо:

m + n = λf. λx. m f (n f x) =

= λf. λx. (λf. λx. f ^m x) f (n f x) =

= λf. λx. ( λx. f ^m x) (n f x) = λf. λx. f ^m (n f x) =

= λf. λx. f ^m ((λf. λx. f ⁿ x) f x) =

= λf. λx. f ^m ((λx. f ⁿ x) x) = λf. λx. f ^m ( f ⁿ x) =

= λf. λx. f ^{m+ n} x ,

m * n = λf. λx. m (n f) x =

= λf. λx. (λf. λx. f ^m x) (n f) x =

= λf. λx. ( λx. (n f) ^m x) x =

= λf. λx. (n f) ^m x = λf. λx. ((λf. λx. f ⁿ x) f) ^m x =

= λf. λx. ( λx. f ⁿ x) ^m x = λf. λx. ( f ⁿ ) ^m x =

= λf. λx. f ^{m n} x .

Можна також ввести ряд функцій для роботи з натуральними числами.

Функція перевірки числа на 0:

iszero n = n (λx. false) true .

Це випливає з

iszero 0 = (λf. λx. x) (λx. false) true = true ,

iszero n = (λf. λx. f ⁿ⁺¹ x) (λx. false) true =

= (λx. false)ⁿ⁺¹ =

= (λx. false) ( (λx. false)ⁿ true) = false .

Функцію декремента decr таку, що decr n + 1 = n і decr 0 = 0 , як було показано Кліні, можна ввести за допомогою

decr n = λf. λx. sec ( n (decrn f) (true x)),

decrn = λf. λp.( false, if first p then sec p else f (sec p)).

Важливою характеристикою мови програмування є можливість використовувати рекурсивні функції. Ключовим моментом є існування так званих комбінаторів нерухомої точки.

Замкнений лямбда-терм Y називається комбінатором нерухомої точки, якщо для будь-якого лямбда-терма f виконується f(Y f) = Y f . Таким чином, комбінатор нерухомої точки за заданим термом f повертає нерухому точку f, іншими словами, терм x такий, що f(x) = x. Він визначається таким чином:

Y = λf. (λx. f (x x)) (λx. f (x x)) .

Неважко переконатися, що даний вираз дійсно визначає комбінатор нерухомої точки:

Y f = (λf. (λx. f (x x)) (λx. f (x x))) f =

= (λx. f (x x)) (λx. f (x x)) =

= f ((λx. f (x x)) (λx. f (x x))) =

f (Y f) .

Покажемо, як комбінатор може допомогти у визначенні рекурсивних функцій. Розглянемо, наприклад, функцію факторіала. Ми хочемо визначити функцію fact таку, що

fact (n) = if iszero n then 1 else n*fact (decr n).

Спочатку перетворимо її до такого еквівалентного вигляду:

fact = λn. if iszero n then 1 else n*fact (decr n).

Цей вираз, у свою чергу, еквівалентний

fact = (λf. λn. if iszero n then 1 else n* f (decr n)) fact .

Звідси можна вивести, що fact є нерухомою точкою деякої функції F вигляду:

F = λf. λn. if iszero n then 1 else n* f (decr n).

За допомогою лямбда-вирахування можна також ввести імена для виразів.