3.2 Неоднозначні граматики

Граматики можуть бути неоднозначними.

Повернемося до граматики виразів. Ланцюжок Е+Е* Е має два породження:

1) Е Е + Е Е + Е * Е ;

2) Е Е * Е Е + Е * Е.

Їм відповідають два різних дерева виведення (рис. 3.2)

Рисунок 3.1-Приклад дерева розбору

Рисунок 3.2 - Дерева виведення для Е+Е* Е

Різниця полягає у способі групування виразів. Наприклад, 1, 2, 3 у першому випадку групуються як 1+(2*3)=7, у другому – як (1+2)*3=9.

Інший приклад.

Ланцюжок а+b може мати різні породження:

E E + E I + E a + E a + I a + b і

E E + E E + I I + I I + b a + b .

Обидва породження приводять до одного дерева розбору.

Таким чином, неоднозначність походить не від наявності багатьох породжень, а від існування двох і більше дерев розбору.

Є дві причини неоднозначності:

- не враховується пріоритет операторів;

- не враховується асоціативність операторів.

Рішенням проблеми неоднозначності може бути введення декількох змінних з різними можливостями зв'язування. Для прикладу можна ввести такі змінні.

Співмножник (factor) F, який не може бути розірваний на частини за допомогою “*” і “+”, які примикають зліва або справа.

Доданок (term) T , який не може бути розірваний оператором “+”. Наприклад, a*b не може бути розірваний оператором “+”, але може бути розірваний оператором “*”: a1*a*b=(a1*a)*b.

Вираз (expression) E – будь-який вираз, включаючи ті, які можуть бути розірвані за допомогою “* ” і “ + ”.

Мову, задану попередньою граматикою, можна за допомогою введених нами змінних E, T і F задати ще однією граматикою, яка є однозначною.

E T | E + T ,

T F | T * F ,

F I | (E) ,

I a | b | Ia | Ib | I0 | I1 .

Дана граматика враховує як лівоасоціативність, так і пріоритет операторів.

Розглянемо ще один приклад граматики для побудови умовного оператора.

stmt → if expr then stmt

| if expr then stmt else stmt

| other .

Ця граматика є неоднозначною, оскільки рядок

if expr1 then if expr2 then stmt1 else stmt2

має два дерева розбору (рис. 3.3).

Рисунок 3.3 - Два дерева розбору для stmt

В усіх мовах програмування з умовними інструкціями такого виду перевага віддається першому дереву розбору. Загальне правило говорить “зіставити кожне else найближчому ліворуч незайнятому then”. Це правило усунення неоднозначності може бути вбудоване безпосередньо в граматику. Основна ідея полягає у тому, що інструкція, що з'являється між then і else, повинна бути збалансованою (matched): вона може бути або повною інструкцією if-then-else, або інструкцією, що відрізняється від умовної.

Виходячи з цього, побудуємо граматику:

stmt → matched_stmt

| unmatched_ stmt ,

matched_stmt → if expr then matched_stmt else matched_stmt

| other ,

unmatched_stmt → if expr then stmt

| if expr then matched_stmt else unmatched_stmt .

Ця граматика генерує ту саму множину рядків, але дає тільки одне дерево розбору, яке зіставляє кожне else найближчому ліворуч незайнятому then.

Якщо хоча б одна граматика мови L однозначна, то L є однозначною мовою.

Мова виразів, породжувана попередніми граматиками, є однозначною.

Хоча породження не завжди унікальні, навіть якщо граматика однозначна, виявляється, що в однозначній граматиці і ліві, і праві породження унікальні.

Тому для дослідження неоднозначності можна брати, наприклад, тільки ліві породження.

Контекстовільна мова називається істотно неоднозначною, якщо всі її граматики неоднозначні.

Наведемо приклад істотно неоднозначної мови.

L = {aⁿ bⁿ c^m d^m | n,m≥1} {aⁿ b^m c^m dⁿ | n,m≥1} ;

S AB | C ,

A aAb | ab ,

B cBd | cd ,

C aCd | aDd ,

B bDc | bc .

Усі ланцюжки цієї мови породжуються двома різними шляхами. Наприклад, для ланцюжка aabbccdd будуть отримані дерева розбору, зображені на рис. 3.4.

У даному прикладі всі ланцюжки породжуються двома різними шляхами.

Рисунок 3.4 - Дерева розбору для істотно неоднозначної мови

Для того щоб переконатися, що ланцюжок належить деякій мові, є два види аналізу.

Перший вид – спадний аналіз, або аналіз “зверху-вниз”, коли стартовий символ послідовно розгортається в ланцюжок. Популярність аналізаторів “зверху-вниз” обумовлена тим фактом, що побудувати ефективний аналізатор вручну простіше з використанням методу “зверху-вниз”.

Другий вид – висхідний аналіз, або аналіз “знизу- вгору”, коли ланцюжок послідовно згортається до стартового символа.

Позначимо корінь дерева через A. Наступні твердження рівносильні.

1 Згортка переводить ланцюжок w у A .

2 A w .

3 A w .

4 A w .

5 Існує дерево розбору з коренем А і кроною w.