1.4 Універсальні алгебри

Нехай A – деяка множина; , , … – n-відношення на множині A. Кожному n-відношенню на множині A можна зіставити n-місну логічну функцію (предикат) Pⁿ: Aⁿ → {true, false} так, що Pⁿ( ,…, )=true тоді і тільки тоді, коли виконується n-відношення ρⁿ( ,…, ).

Моделлю M_A = <A; π> називається система, що складається з множини A і визначеної на даній множині сукупності предикатів π = { | s = 1,2,…}.

Множина A називається основною множиною даної моделі.

Послідовність n₁, n₂, … називається типом моделі.

Сукупність π називається її сигнатурою.

Розглянемо модель, де кожен n-місний предикат, що входить у π, відповідає функціональному відношенню φⁿ на множині A. З кожним таким відношенням зв'язана деяка частково визначена (n-1)-місна функція φ(x₁, …, x_n-1).

Частково визначена функція F(x₁,…, x_n) називається n-арною частковою операцією на множині A. У разі, коли F усюди визначена, говорять просто про n-арну операцію на множині A.

Система U_A=<A; Ω>, що складається з основної множини A і визначеної на ній сукупності частково визначених операцій Ω = { (x₁, …, ) | s = 1,2, …}, називається частковою універсальною алгеброю типу n_s із сигнатурою операцій Ω.

Якщо кожна з операцій усюди визначена на множині A, говорять просто про універсальну алгебру.

Приклади універсальних алгебр

1 Система <N; {+}> – універсальна алгебра.

2 Система <N; {×}> – універсальна алгебра.

3 Система <N; {+, -, ×, :}> – часткова універсальна алгебра, тому що операції “-“ і “:” не усюди визначені.

4 Система <F(A); { }>, що складається з основної множини F(A) усіх ланцюжків скінченної довжини, включаючи порожній, в алфавіті A з операцією конкатенації “ ” , – універсальна алгебра.

Універсальна алгебра із сигнатурою, що має одну асоціативну бінарну операцію, називається напівгрупою.

5 Система <M(A); S>, де M(A) – множина усіх мов над алфавітом A, а S – сукупність суперпозицій над мовами, – універсальна алгебра.

6 Система <M(A); { , , }> – універсальна алгебра.

Нехай U_A = <A; Ω> – універсальна алгебра і A₁ – деяка підмножина A.

Множина [A₁]_F A називається замиканням множини A₁ в алгебрі U_A за n-місною операцією F Ω, якщо

а) A₁ [A₁]_F ;

б) для будь-яких q₁, …, q_n [A₁]_F F(q₁, …, q_n) [A₁]_F, при цьому будь-який елемент із [A₁]_F породжується з елементів A₁.

Множина A₁ називається замкненою за n-місною операцією F Ω в алгебрі U_A, якщо A₁ [A₁]_F .

Якщо замикання породжується всіма операціями сигнатури, слова “за n-місною операцією” опускаються.

Нехай A₁ A замкнена в алгебрі U_A . Тоді алгебра = <A₁; Ω> називається підалгеброю універсальної алгебри U_A = <A; Ω>.

Приклад підалгебри

Система <N(r); {+}>, де N(r)={n | n ≥ r}.

Нехай = <A₁; Ω> – деяка підалгебра універсальної алгебри U_A = <A; Ω>.

Система елементів Σ A₁ називається системою твірних, або повною системою підалгебри , якщо замикання [Σ] = A₁. Якщо [Σ] = A, система Σ називається системою твірних алгебри U_A .

Універсальна алгебра може мати скінченну систему твірних, тоді алгебра називається скінченно-породженою і може не мати таких систем, тоді алгебра називається нескінченно-породженою.

Приклади

1 < N(r); {+} > – має скінченно-породжену систему твірних Σ = {r, r+1, …, 2r-1}.

2 < N; {×}> – не має скінченної системи твірних і нескінченно-породжена.

3 < F(A); { }> – має систему твірних Σ = {ε, a_i | a_i A } – множину всіх однобуквених слів.

Система твірних Σ A універсальної алгебри U_A називається базисом даної алгебри, якщо [Σ \ a_i] ≠ A для кожного елемента a_i Σ .

Завдання до розділу 1

1 Перелічити підмножини {a}.

2 Перелічити підмножини {a, b, c}.

3 Перелічити підмножини .

4 Перевірити правильність:

а) ; б) ; в) ;

г) A, де A – довільна множина;

д) A, A – довільна множина.

5 Визначити кількість символів у множині:

а) { , { }}; б) {{ , { }}};

в) {1,2,3, {1,2,3 }};

г) { , { }, a, b, {a, b}, {a, b, {a, b}}};

д) { , { }, { , { }}}.

6 Нехай A={1, 2, 3}, B= {a, b}. Визначити декартові добутки:

а) A × B; б) A × B; в) A × ;

7 Визначити булеан P(A), якщо A = .

8 Визначити булеан P(P(A)), якщо A = .

9 Перевірити правильність:

а) A = A ; б) A = A ;

в) якщо A B, то A B = A;

д) якщо A B = A, то B A.

10 Нехай A={a,b,c,d,e}, а S, T, U і V – відношення на A, де

S={(a,a), (a,b), (b,c), (b,d), (c,e), (e,d), (c,a)};

T={(a,b), (b,a), (b,c), (b,d), (e,e), (d,e), (c,b)};

U={(a,b), (a,a), (b,c), (b,b), (e,e), (b,a), (c,b), (c,c), (d,d), (a,c), (c,a)};

V= {(a,b), (b,c), (b,b), (e,e), (b,a), (c,b), (d,d), (a,c), (c,a)};

а) побудувати U V;

б) побудувати S T;

в) побудувати U \ T;

г) побудувати U S.

11 Нехай A={a, b, c, d, e}. Побудувати бінарне відношення на A, яке є:

а) рефлексивним, симетричним, але не транзитивним;

б) симетричним, транзитивним, але не рефлексивним;

в) рефлексивним, транзитивним, але не симетричним.

12 Множина A є множиною всіх дільників числа 30. На множині A установимо частковий порядок a<b, якщо a є дільником числа b.

Побудувати діаграму Хассе для даної множини.

Примітка. Якщо a<c, на діаграмі Хассе a розміщується нижче c. Вузли a і c на діаграмі з’єднуються лінією, якщо не існує такого b, що a<b<c.

13 Визначте, чи є кожне з перелічених нижче відношень відношенням еквівалентності. Для кожного відношення еквівалентності побудуйте класи еквівалентності:

а) A – множина цілих чисел, і R є відношенням, заданим умовою (a,b) R , якщо a+b=0;

б) A={-10,-9,-8,-7,… ,0,1, …,9,10} і (a,b) R, якщо a²=b²;

в) A={-10,-9,-8,-7,… ,0,1, …,9,10} і (a,b) R, якщо a³=b³.

21