Xгарм.  Xгеом.  Xарифм.  Xквадр.  Xкуб.

В статистической практике чаще, чем остальные виды средних взвешенных, используются средние арифметические и средние гармонические взвешенные.

Рассмотрим на примере порядок расчета и выбор формы средней величины.

На основании следующих данных по двум сельско хозяйственным предприятиям необходимо определить, в каком из них и насколько выше средняя урожайность зерновых культур:

Культура	Предприятие 1		Предприятие 2
	Валовой сбор, ц	Урожайность, ц/га	Посевная площадь, га	Урожайность, ц/га
Пшеница	32500	25	1540	20
Озимая
Рожь	1620	18	120	19
Ячмень	13640	22	460	18
Просо	1650	15	80	13
Итого	49410	–	2200	–

Т а б л и ц а 4.4

Виды степенных средних

Вид степенной средней	Показатель степени (m) степени (m)	Формула Расчета
		Простая	Взвешенная
Гармоническая	– 1		m = xf
Геометрическая	0
Арифметическая	1
Квадратическая	2
Кубическая	3

Показатель урожайности является вторичным признаком, так как он задан на единицу первичного признака (посевной площади, выраженной абсолютной величиной) и может быть представлен как отношение двух первичных признаков, а именно валового сбора и посевной площади:

,

где У – урожайность,

ВС – валовой сбор,

ПП – посевная площадь.

Следовательно, для расчета средней урожайности по каждому предприятию необходимо применить среднюю взвешенную. Возникает вопрос: арифметическую или гармоническую? В.Е. Овсиенко формализовал порядок выбора формы средней качественного признака на основе следующих правил^*.

1. Если имеется ряд данных по двум взаимосвязанным показателям, для одного из которых нужно вычислить среднюю величину, и при этом известны численные значения знаменателя ее логической формулы, а значения числителя не известны, но могут быть найдены как произведения этих показателей, то средняя должная вычисляться по формуле средней арифметической взвешенной.

2. Если в указанной постановке задачи известны численные значения числителя логической формулы, а значения знаменателя не известны, но могут быть найдены как частное от деления одного показателя на другой, то средняя вычисляется по формуле средней гармонической.

3. В том случае, когда в условии задачи даны численные значения числителя и знаменателя логической формулы показателя, средняя вычисляется непосредственно по этой формуле.

Согласно данным рассматриваемого примера, для сельскохозяйственного предприятия №1 средняя урожайность должна определяться по правилу 2, изложенному выше, так как известно численное значение числителя в логической формуле средней величины, а именно показатель валового сбора. Исходя из этой же логической формулы значение знаменателя (посевную площадь) можно определить так:

Получаем следующую формулу для расчета средней урожайности по предприятию №1:

где в качестве веса выступает валовой сбор.

Данную формулу расчета имеет средняя гармоническая взвешенная:

Раскроем экономический смысл слагаемых знаменателя: 1300 га – посевная площадь, занятая под озимой пшеницей; 90 га – площадь под рожью; 620 га – под ячменем; 110 га – под просом; 2120 га – посевная площадь сельско хозяйственного предприятия №1, занятая под всеми зерновыми культурами.

Для сельскохозяйственного предприятия №2 средняя урожайность определяется по правилу 1. В условиях задачи присутствует численное значение знаменателя – это показатель посевной площади. Исходя из логической формулы средней величины числитель (валовой сбор) можно определить так:

ВС = У • ПП.

Получаем следующую формулу для расчета средней урожайности по предприятию №2:

,

где в качестве веса выступает посевная площадь.

Данную формулу расчета имеет средняя арифметическая взвешенная:

Экономический смысл слагаемых числителя следующий: 30800 ц – валовой сбор озимой пшеницы; 2280 ц – ржи; 8280 ц – ячменя; 1040 ц – проса; 42400 ц – валовой сбор зерновых культур на сельскохозяйственном предприятии №2.

Следовательно, средняя урожайность зерновых культур на предприятии №1 по сравнению с предприятием №2 была выше на 4,04 ц/га (или на 21 %).

Средняя гармоническая имеет более сложную конструкцию, чем средняя арифметическая. Среднюю гармоническую применяют для расчетов тогда, когда в качестве весов используются не единицы совокупности – носители признака, а произведения этих единиц на значения признака (т.е. m = Xf). К средней гармонической простой следует прибегать в случаях определения, например, средних затрат труда, времени, материалов на единицу продукции, на одну деталь по двум (трем, четырем и т.д.) предприятиям, рабочим, занятым изготовлением одного и того же вида продукции, одной и той же детали, изделия.

Покажем расчет средней гармонической простой на следующем примере. Три промышленных предприятия заняты производством миксеров. Себестоимость производства миксера на 1–м предприятии – 5 тыс. руб., на 2–м – 3 тыс., на 3–м – 6 тыс. руб.

Необходимо определить среднюю себестоимость миксера при условии, что на каждом предприятии общие затраты на его изготовление составляют 60 тыс. руб.

Попытка решить задачу с помощью средней арифметической простой

оказалась бы успешной, если бы каждое предприятие выпускало по одному миксеру, но это не так, а потому

Общие затраты на

Средняя себестоимость производство (тыс.руб)

Одного миксера, тыс. руб. шт. = ——————————————.

Количество произведенных

миксеров (шт.)

Рассчитаем количество миксеров, произведенных каждым предприятием:

1. ;

2. ;

3. 

Вычислим среднюю себестоимость по формуле средней гармонической взвешенной:

Таким образом, в среднем на изготовление одного миксера было израсходовано 4,286 тыс. руб.

В качестве веса в этой задаче был принят показатель общих затрат на производство миксеров, который представляет собой произведение себестоимости на количество единиц совокупности.

Так как общие затраты на всех предприятиях одинаковы, то к аналогичному результату приводит и расчет по средней гармонической простой:

Главное требование к формуле расчета среднего значения заключается в том, чтобы все этапы расчета имели реальное содержательное обоснование; полученное среднее значение должно заменить индивидуальные значения признака у каждого объекта без нарушения связи индивидуальных и сводных показателей. Иначе говоря, средняя величина должна исчисляться так, чтобы при замене каждого индивидуального значения осредняемого показателя его средней величиной оставался без изменения некоторый итоговый сводный показатель, связанный тем или другим образом с осредняемым^*. Этот итоговый показатель называется определяющим, поскольку взаимосвязи с индивидуальными значениями конкретную формулу расчета средней величины. правило на примере средней геометрической.

Формула средней геометрической

используется чаще всего при расчете среднего значения по индивидуальным относительным величинам динамики.

Средняя геометрическая применяется, если задана последовательность цепных относительных величин динамики, указывающих, например, на рост объема производства по сравнению с уровнем предыдущего года: i₁, i₂, i₃, ..., i_n. Очевидно, что объем производства в последнем году определяется начальным его уровнем (q₀) и последующим наращиванием по годам:

q_n = q₀  i₁  i₂ … i_n

Приняв q_n в качестве определяющего показателя и заменяя индивидуальные значения показателей динамики средними, приходим к соотношению

.

Отсюда .

Интересно, что к расчету показателя средних темпов роста можно подойти и по иному. Примем в качестве определяющего показателя общий объем производства за n лет:

Q = q₁ + q₂ + ... + q_n.

Тогда Q = q₀ • i₁ + q₀ • i₁ • i₂ + ... + q₀ • i₁ • i₂ • ... • i_n.

Заменяем индивидуальные значения средним:

Q/q₀= (i + i² + i³ + ... + iⁿ).

Таким образом, если известно, во сколько раз суммарный объем производства за n лет должен превысить уровень базисного года, то для определения среднего коэффициента роста надо решить уравнение степени n.

Найденное среднее значение коэффициента роста дает ответ на вопрос, какими темпами должен ежегодно возрастать показатель, чтобы в итоге получился суммарный объем Q.

Приведем таблицу решений уравнения при n Q/q в интервале от 3 до 10:

n	Q / q0
	3	4	5	6	7	8	9	10
3	1	1,151	1,278	1,389	1,489	1,578	1,661	1,734
5	0,834	0,927	1	1,061	1,114	1,161	1,203	1,241

Например, чтобы среднегодовой объем производства в предстоящие 5 лет был больше объема базисного года на 20 % (в итоге за 5 лет будет произведено в 6 раз больше продукции, чем в предшествующем году), следует ежегодно увеличивать объем производства на 6,1 –6,2 %. По сравнению с базисным ежегодное производство должно будет составлять 106,1 %; 112,6; 119,6; 127,0; 134,7%.