4. Тема 3. Введение в математический анализ Краткие теоретические сведения

Число А называется пределом функции f(x) при х, если для любого числа  > 0 существует такое число М > 0, что для всех х, х>M выполняется неравенство .

При этом предполагается, что функция f(x) определена в промежутке (-∞;+∞).

Записывают:

Число А называется пределом функции f(x) в точке a (при х а), если для любого  > 0 существует такое число δ > 0, что для всех х таких, что 0 < x - a < δ верно неравенство .

Первый замечательный предел математического анализа: .

Второй замечательный предел математического анализа: .

Основные эквивалентности при х 0:

sin x ~ x, 1 – cos x , arcsin x ~ x, tg x ~ x, arctg x ~ x, ln(1 + x) ~ x.

Задания к расчетно-графической работе

Задание 3.1. Найти пределы функций, не пользуясь правилами Лопиталя.

Вариант	Задание	Вариант	Задание
1	а) ; б) ; в) ; г) ; д) .	6	а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
2	а) ; б) ; в) ; г) ; д) .	7	а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
3	а) ; б) ; в) ; г) ; д) .	8	а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
4	а) ; б) ; в) ; г) ; д) .	9	а) ; б) ; в) ; г) ; д) .
5	а) ; б) ; в) ; г) ; д) .	10	а) ; б) ; в) ; г) ; д) .

Пример выполнения заданий по теме 3

Задание 3.1. Найти пределы функций, не пользуясь правилами Лопиталя.

а) ;

б) ;

в) ;

г) ;

д) .

Решение.

а). Разделим числитель и знаменатель дроби на наибольшую степень: x . Тогда получим: = = . Так как при x , то = .

б) Разложим числитель и знаменатель дроби на множители.

Найдем корни многочлена 2x - 5x – 3. Так как D = (–5) – 4·2·(–3) = 49, то x , x = . Тогда применив формулу:

ax + bx + c = a(x - x )·(x - x ), получим 2x - 5x – 3 = 2(x - 3)·(x - ).

Так как x - 9 = (x – 3)(x + 3),

то = .

в) Домножим числитель и знаменатель дроби на сопряженное выражение: =

= =

= .

г) Так как 1 – cosx = , arcsin x ~ x, tg2x ~ 2x при х0, то

д) Преобразуем выражение под знаком предела таким образом, чтобы применить формулу второго замечательного предела: .

= = =

= = e = e = .

Ответ:

а) = –1 ;

б) = 1 ;

в) = –1;

г) = 4;

д) = .