Задания к расчетно-графической работе

Задание 1.1. Выполнить действия над матрицами.

Вариант	Задание	Вариант	Задание
1	2(А+В)(2В-А), где	6	(2А-В)(3А+В)-2АВ, где
2	3А - (А+2В)В, где	7	(А+В)А - В(2А+3В), где
3	(А-В)2А+2В, где	8	А(2А+В) - В(А-В), где
4	2(А-0,5В)+АВ, где	9	(A – B)(А + В) + 2А, где
5	(А-В)А+3В, где	10	2АВ-(А+В)(А-В), где

Задание 1.2. Дана система линейных уравнений.

1. Решить систему по формулам Крамера;

2. Решить систему с помощью обратной матрицы.

Вариант	Задание	Вариант	Задание
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

Задание 1.3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.

Вариант	Задание	Вариант	Задание
1		6
2		7
3		8
4		9
5		10

Пример выполнения заданий по теме 1

Задание 1.1. Выполнить действия над матрицами: B·(A + 3B) – A· (A – B), где А = ; B = .

Решение.

1). 3B = 3· = = .

2). A + 3B = + = = .

3). B·(A + 3B) = · =

= = = = .

4). A – B = – = = .

5). A· (A – B) = · = = =

= = .

6). B·(A + 3B) – A· (A – B) = – = = = .

Ответ: B·(A + 3B) – A· (A – B) =

Задание 1.2. Дана система линейных уравнений:

1. Решить систему по формулам Крамера;

2. Решить систему с помощью обратной матрицы.

Решение.

1. Воспользуемся формулами Крамера: x = , где j = 1; 2; 3.

 = det A, а _j– определитель матрицы, получаемой из матрицы системы заменой столбца j столбцом свободных членов. Тогда

 = = (5·2·2 + 1·3· (– 1) + (– 1) ·3·4) – (4·2·(–1) + 3·3·5 + 1· (–1) ·2) = = (20 – 3 – 12) – (–8 + 45 – 2) = 5 – 35 = – 30;

₁ = = (0·2·2 + 14·3·(– 1) + (–1)·3·16) – (16·2·(–1) + 0·3·3 + 14 ×

× (–1) ·2) = (0 – 42 – 48) – (–32 + 0 – 28) = –90 – (– 60) = – 30;

₂ = = (5·14·2 + 1·16·(– 1) + 0·3·4) – (4·14·(–1) + 5·16·3 + 1·0·2) = = (140 – 16 + 0) – (– 56 + 240 + 0) = 124 – 184 = – 60;

₃ = = (5·2·16 + 1·3·0 + (–1) ·14·4) – (0· 2·4 + 5·3·14 + 1· (– 1) ·16) =

= (160 + 0 – 56) – (0 + 210 – 16) = 104 – 194 = –90.

Тогда x = 1, x = 2, x = 3.

Ответ: x = 1; x = 2; x = 3.

2. Запишем матрицу системы A = , столбец неизвестных

X = , столбец свободных членов B = . Определитель матрицы A равен = – 30 0. Тогда решение системы линейных уравнений определяется по формуле X = A ·B. Для нахождения A воспользуемся формулой: A = . Для нахождения A cоставим для матрицы A транспонированную матрицу A = и найдем элементы союзной матрицы A , как алгебраические дополнения элементов матрицы A .

A = (–1) .

Тогда: A = (–1) M = = 2·2 – 3·3 = – 5,

A = (–1) M =– = – (–1·2 – (–1)·3) = – (– 2 + 3) = – 1,

A = (–1) M = = (–1)·3 – (–1)·2 = – 3 + 2 = – 1,

A = – = – (1·2 – 3·4) = – (2 – 12) = – (–10) = 10,

A = = 5·2 – 4·(–1) = 10 + 4 = 14,

A = – = – (5·3 – 1·(–1)) = – (15 + 1) = – 16,

A = = 1·3 – 2·4 = 3 – 8 = –5,

A = – = – (5·3 – 4·(–1)) = – (15 + 4) = –19,

A = = 5·2 – 1·(–1) = 10 + 1 = 11.

Тогда A^-1 = = = ;

Cделаем проверку:

AA^-1 = = = = E.

Найдем матрицу Х.

Х = = А^-1В =  = .

Итак, решением системы будет x = 1; x = 2; x = 3.

Ответ: x = 1; x = 2; x = 3.