3. Тогда общее решение линейного неоднородного уравнения будет иметь вид:

в) Общее решение данного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами найдем, как сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения исходного неоднородного уравнения:

1. Найдем общее решение однородного уравнения Для этого составим характеристическое уравнение для данного линейного однородного дифференциального уравнения: Найдем корни этого квадратного уравнения: Так как в случае D > 0 общее решение линейного однородного дифференциального второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , то общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

2. Теперь найдем частное решение исходного дифференциального уравнения

. Так как f(x) = , то частное решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

= y = .

Для нахождения A и B воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

Подставляя в исходное уравнение , получаем:

2A – 2Ax – B = x + 2. Приравнивая коэффициенты при и , получим:

: – 2Ax = 1;

: 2A – B = 2. Откуда находим: A = , B = – 3.

Тогда частное решение имеет вид: =

3. Тогда общее решение линейного неоднородного уравнения будет иметь вид:

г) Общее решение данного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами найдем, как сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения исходного неоднородного уравнения:

1. Найдем общее решение однородного уравнения Для этого составим характеристическое уравнение для данного линейного однородного дифференциального уравнения: Найдем корни этого квадратного уравнения: Так как в случае D > 0 общее решение линейного однородного дифференциального второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид , то общее решение исходного уравнения будет иметь вид:

2. Теперь найдем частное решение исходного дифференциального уравнения

Так как f(x) = , то частное решение данного дифференциального уравнения имеет вид:

= y = .

Для нахождения A и B воспользуемся методом неопределенных коэффициентов.

= . Подставляя в исходное уравнение , получаем: - 7 +

+ 6 = . Вынесем в левой части уравнения за скобки, разделим обе части уравнения на и уравняем коэффициенты при , и . Тогда получим:

: A - 7A + 6A = 0,

: B + 4A – 7B – 14A + 6B = 1,

: 2A + 2B – 7B = – 2.

После упрощений получаем:

: 0 = 0,

: – 10A = 1, откуда A = - 0,1.

: 2A – 5B = – 2. Подставляя вместо A = - 0,1, получим B = 0,36.

Таким образом, частное решение имеет вид: =

3. Тогда общее решение линейного неоднородного уравнения будет иметь вид:

8. Тема 7. Ряды. Краткие теоретические сведения

Выражение называется рядом.

Слагаемые называются членами ряда, - общий член ряда.

Ряд называется числовым, если все его члены являются числами.

Ряд называется функциональным, если все его члены – функции.

Сумма конечного числа первых n членов ряда называется n–й частичной суммой ряда: .

Если существует конечный предел последовательности частичных сумм ряда, то ряд называется сходящимся, а число S называется суммой ряда.

Если не существует или равен бесконечности, то ряд называется расходящимся.

Необходимый признак сходимости числового ряда: Если ряд сходится, то .

Следствие (достаточный признак расходимости числового ряда): Если или не существует, то числовой ряд расходится.

Ряд называется гармоническим.

Теорема: Гармонический ряд расходится.

Ряд называется знакоположительным (неотрицательным), если для любого натурального n .

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов:

Первый признак сравнения: Пусть даны два знакоположительных ряда и , и пусть для любого натурального n выполняется условие: . Тогда, если ряд - сходится, то и ряд сходится; а если ряд расходится, то и ряд расходится.

Второй признак сравнения (предельный): Пусть даны два знакоположительных ряда и , и пусть существует , , тогда оба ряда и одновременно сходятся или расходятся.

Признак Даламбера: Пусть дан знакоположительный ряд и существует предел . Тогда ряд будет сходиться при l < 1 и расходиться при l > 1.

Радикальный признак Коши: Пусть дан знакоположительный ряд и существует предел . Тогда ряд будет сходиться при l < 1 и расходиться при l > 1.

Интегральный признак Коши: Если - непрерывная положительная функция, убывающая на промежутке [1; + ), то ряд и несобственный интеграл одновременно сходятся или расходятся.

Степенным рядом называется функциональный ряд вида , где и - действительные числа.

Множество значений переменной x, при которых соответствующий числовой ряд сходится, называется областью сходимости степенного ряда.

Область сходимости степенного ряда находится по следующему плану:

1. Находится радиус сходимости степенного ряда по формулам: или .

2. Записывается интервал сходимости степенного ряда: ( - R; + R).

3. Исследуется сходимость соответствующего числового ряда при значениях x = - R; x = + R.

4. С учетом проведенного исследования записывается область сходимости исходного степенного ряда.