5. Тепловое расширение твердых тел.

При нагревании тела энергия сообщается как ядрам, так и электронам. Если при этом квантовое состояние электронной подсистемы кристалла не изменяется, то можно говорить только об увеличении колебательной энергии, которая равна сумме кинетической энергии ядер и энергии электронов ξ_n(R), которая при движении ядер играет роль потенциальной энер­гии. Будем использовать для ξ_n(R) обозначение U(R) и полагаем, что в узлах решетки на­ходятся целые атомы.

Максимальное значение U(R) равно полной энергии колеба­ний Е. Минимальное значение можно принять равным нулю (т. е. U(R₀) = 0). Отсюда видно, что при нагревании изменяются расстояния между атомами, т. е. нагрев приводит к тепловому расширению образца. Для численной оценки эффекта найдем среднее расстояние между атомами в одномерной цепочке, изо­браженной на рис. 3: .

Положения атомов задаются их смещениями ξ_i относительно положения равновесия (узла решетки). Можно считать, что ве­личины ξ_i изменяются беспорядочно, хаотически. Вероятность того, что эти параметры примут значения ξ_i задается канониче­ским распределением Гиббса. В нашем случае его мож­но записать в виде:

[10]

Где

Д

[11]

опустим, что потенциальная энергия колебаний описыва­ется выражением

Это означает, что сила взаимодействия между соседними атома­ми не пропорциональна изменению расстояния между ними, а следует более сложному закону

Именно второй, ангармонический член в формуле для силы ответствен за удлинение образца.

Воспользовавшись распределением (10) и произведя ряд преобразований, получим z_n - среднее значение изменения расстояния между атомами:

Зная средние значения расстояний между атомами z_n в за­висимости от температуры T можно рассчитать коэффициент теплового расширения, который определяется соотношением:

Где l — длина образца. Расстояние d_n между п-м и (n - 1)-м атомами равно

Учитывая, что

Получаем

О тсюда (при z_n << a) имеем:

С

Рис. 4.

тоит заметить, что знак параметра а зависит от знака постоянной β: Если β > 0, то при нагревании тела расширяются (рис. 4, кривая 3). Если β < 0, то при увеличении температуры происхо­дит сжатие (кривая 2). Если взаимодействие соседних атомов подчиняется закону Гука, то β = 0 и α = 0, т. е. эффект теплового расширения—сжатия отсутствует (кривая 1).

6. Теплопроводность кристаллической решетки

В общих чертах механизм теплопроводности кристал­лической решетки давно известен, однако точный анализ явле­ния оказывается настолько сложным, что и сейчас возможны только довольно грубые оценки.

Для исследования процесса переноса тепла в решетке с ис­пользованием волновых представлений следует учесть, что тепловое движение атомов в кристалле представляет собой бес­порядочные колебания около положений равновесия. Поэтому для их описания необходимо ввести волновое поле, хаотически изменяющееся в каждой точке кристалла.

Поскольку температура определяет среднюю интенсивность (а также распределение энергии по частотам и другие характе­ристики) волнового процесса, то в случае, если тело нагрето не­однородно, плотность энергии волнового поля оказывается не­одинаковой в различных частях образца.

Так как бегущая волна несет энергию, казалось бы, нетрудно на волновом языке описать передачу энергии от более нагретых участков к менее нагретым, но это не так просто. Дело в том, что в среде с дисперсией скорость течения энергии не совпадает со скоростью распространения волн. Сложности рассмотрения этим не ограничиваются. Следует вычислить вклад отдельных монохроматических составляющих, учесть интерференцию волн и их рассеяние на дефектах решетки, а также и возможное взаимное рассеяние волн, если колебания атомов являются ан­гармоническими.

Значительно проще описание механизма теплопроводности с использованием понятия о фононном газе (при этом подходе слова «атомы», «решетка» могут быть забыты). Кристалл сле­дует рассматривать как объем, наполненный идеальным фононным газом.

Согласно распределению (0) у нагретой стенки будет боль­ше фононов с высокими энергиями, чем у холодной. При одина­ковой всюду концентрации фононов число этих квазичастиц, пересекающих в каждый момент выделенную плоскость слева направо и в обратном направлении, справа налево, одинаково. Вследствие разности температур по обе стороны плоской по­верхности средние энергии фононов в этих потоках различны, и поэтому возникает поток энергии в сторону более холодного га­за, от стенки с более высокой температурой к стенке с меньшей температурой.

Такой процесс возможен в любом газе. Поэтому нет необхо­димости заново вычислять коэффициент теплопроводности для фононного газа. Можно воспользоваться готовой формулой мо­лекулярно-кинетической теории :

где с — теплоемкость единицы объема (в данном случае это теп­лоемкость на единицу объема решетки), u, l — средняя ско­рость хаотического теплового движения и средняя длина сво­бодного пробега фононов соответственно.

Теплоемкость найдем из соотношения

где V — объем образца.

Чтобы найти среднюю скорость фононов u, требуется произ­вести двойное усреднение. Дело в том, что фонон, находящийся в квантовом состоянии с энергией ξ и квазиимпульсом р, не имеет определенной скорости движения. Для него можно ука­зать лишь среднее значение этой величины. Можно показать, что квантовое среднее <u> находится из соотношения

Далее модуль <u> усредняется по распределению (0): z

Как правило, в расчетах используется дебаевское приближение:

(ω= v_┴*q.или ω= v_║*q.): предполагается, что все фононы имеют одну и ту же ско­рость v, равную скорости звука в среде, т. е. u = v.

Наибольшие трудности связаны с расчетом длины свободно­го пробега. В молекулярно-кинетической теории для этой вели­чины имеется выражение l=1/nS [12]

где n - концентрация мишеней, т. е. частиц, с которыми мо­жет столкнуться движущаяся молекула, S — поперечное сече­ние мишени.

Если решетка не имеет дефектов, то препятствовать движе­нию фонона могут лишь другие фононы. Поэтому величину n в формуле (11) следует принимать равной концентрации фононного газа. Что касается S, то это будет некоторая эффектив­ная величина, характеризующая взаимодействие фононов друг с другом.

Формула для концентрации фононов:

[13]

Фазовый объем, приходящийся на все состояния фонона, ес­ли он движется в пределах объема V и модуль его импульса из­меняется в интервале от р до р + dp (все направления движения равновероятны), выражается формулой

[13]

Где θ – дебаевская температура. θ=ξ₀/k

Из анализа формулы (9.37), аналогичного анализу формулы (9.16), следует, что при Т >> θ, n ≈ T, а при Т << θ, n ≈ Т³.

Использованная литература:

1. А. С. Василевский. Физика твёрдого тела. Дрофа. 2010 г. 206 стр.