Лекция 7

Основные выводы

1. Колебание — это движение тела, повторяющиеся в одном и противоположном направлении по одной и той же траектории. Такое движение является периодическим.

2. Примером колебания является движение тела с массой m, прикрепленного к пружине, выведенного из положения равновесия и двигающегося под действием возвращающей силы F = – kx, где k — жесткость пружины.

3. Смещение х — расстояние от точки равновесия. Амплитуда А — максимальное смещение. Период Т — время, за которое совершается полное колебание.

4. Любая колебательная система, в которой возвращающая сила пропорциональна смещению, взятому с противоположным знаком, совершает гармонические колебания, а сама система называется гармоническим осциллятором.

5. Уравнение движения гармонического осциллятора:

Наиболее общее решение этого уравнения:

x = x_ocos(t + ),

где ² = k/m,  — произвольная фаза. Постоянные x_o = А и  выбираются из начальных условий. Период колебаний Т равен:

.

6. Математический маятник — это материальная точка, подвешенная на нерастяжимой нити.

Для математического маятника возвращающий момент сил равен N = –mgL sin, где L — длина маятника, а  — угол отклонения, и уравнение движения имеет вид , т.е. вообще говоря, движение не является гармоническим. Только при малых углах, когда sin  , уравнение приобретает вид . В этом случае математический маятник совершает гармонические колебания с периодом, не зависящим от массы: .

7. Любое тело, совершающее колебания под действием силы тяжести называется физическим маятником. Физический маятник совершает гармонические колебания при малых углах отклонения. Его движение описывается выражением: с периодом колебаний , где I — момент инерции относительно точки подвеса и l — расстояние от точки подвеса до центра масс. Величина называется приведенной длиной физического маятника.

8. Точка на прямой, соединяющей точку подвеса и центр масс и расположенная на расстоянии l_пр, называется центром качания физического маятника. Точка подвеса и точка качания обладают свойством обратимости, т.е. при подвешивании маятника в центре качания приведенная длина, а значит и период колебаний, равный , будут одинаковыми. На этом свойстве основан метод определения абсолютного значения g с помощью оборотного маятника.

Лекция 8

Основные выводы.

1. Уравнение движения осциллятора при наличии силы, пропорциональной скорости f = – bv, вызывающей затухание колебаний:

.

Решение этого уравнения выражается соотношением:

x = Ae^–tcos(t + )

где , и .

2. Величина  называется коэффициентом затухания, _o — собственной частотой колебаний системы.

3. Отношение значений амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающиеся на период Т:

,

называется декрементом затухания, а логарифм этого выражения — логарифмическим декрементом затухания  = Т.

4. При воздействии на колебательную систему внешней силы, изменяющейся с определенной частотой возникают вынужденные колебания. Если внешняя сила изменяется по закону F_вн = F_osint, то уравнения осциллятора с учетом затухания имеет вид

.

Решение этого уравнения:

x = A_ocos(t – _o),

где

, и .

Зависимость амплитуды вынужденных колебаний от частоты вынуждающей силы приводит к тому, что при определенной частоте для данной системы амплитуда достигает максимального значения. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота резонансной частотой:

.

Величина амплитуды при резонансной частоте определяется выражением:

.