Свободные, затухающие и вынужденные колебания.

Свободные колебания.

Согласно второму закону Ньютона

- дифференциальное уравнение свободных гармонических колебаний.

Решение:

S₁, S₂ – корни характеристического уравнения

Уравнение

можно привести к виду:

Найдём полную энергию колеблющийся точки

так как

Затухающие колебания.

Согласно второму закону Ньютона проекция на ось х:

- сила сопротивления среды.

- дифференциальное уравнение затухающих колебаний.

Составим характеристическое уравнение:

Рассмотрим случай слабого сопротивления среды.

- среда со слабым затуханием.

= A(t) для затухающих колебаний.

Найдём отношение

- размерность обратно времени.

- степень затухания.

- добротность системы.

2)

В данном случае имеют место апериодические колебания ( непериодические) из-за того, что ₁, ₂ имеют отрицательные знаки, тогда х уменьшается всегда с увеличением t.

Вынужденные колебания.

Для вынужденных колебаний используем второй закон Ньютона в одномерной системе.

- дифференциальное уравнение вынужденных колебаний.

- частное решение, неоднородное уравнение.

- комплексное число.

- фаза; - модуль комплексного числа.

Общее решение неоднородного дифференциального уравнения второго порядка имеет вид:

Резонанс

Волновое уравнение. Фазовая и групповая скорости. Уравнение сферической волны — волны, волновые поверхности которой имеют вид концентрических сфер, записывается как

или где Физический и математический маятники. Математический маятник Сложение взаимно перпендикулярных колебаний траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными.

Ориентация эллипса и размеры его осей зависят от амплитуд складываемых колебаний и разности фаз . Рассмотрим некоторые частные случаи, представляющие физический интерес:

1)  = m (m=0, ±1, ±2, ...). В данном случае эллипс вырождается в отрезок прямой

где знак плюс соответствует нулю и четным значениям т (рис. 205, а), а знак минус — нечетным значениям т (рис. 205, б). Результирующее колебание является гармоническим колебанием с частотой  и амплитудой , совершающимся вдоль прямой (145.3), составляющей с осью х угол =arctg . В данном случае имеем дело с линейно поляризованными колебаниями;

2)  = (2m+1) (m=0, ± 1, ±2,...). В данном случае уравнение примет вид

Это уравнение эллипса, оси которого совпадают с осями координат, а его полуоси равны соответствующим амплитудам (рис. 206). Кроме того, если А=В, то эллипс (145.4) вырождается в окружность. Такие колебания называются циркулярно поляризо­ванными колебаниями или колебаниями, поляризованными по кругу.

Если частоты складываемых взаимно перпендикулярных колебаний различны, то замкнутая траектория результирующего колебания довольно сложна. Замкнутые тра­ектории, прочерчиваемые точкой, совершающей одновременно два взаимно перпендикулярных колебания, называются фигурами Лиссажу.* Вид этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. На рис. 207 представлены фигуры Лиссажу для различных соотношений частот (указаны слева) и разностей фаз (указаны вверху; разность фаз принимается равной ).