2.3. Однородные отношения.

Как уже говорилось в предыдущем разделе, однородным отношением называется отношение

R= a  b={(a,b)|aA&bA}.

То есть можно сказать, что однородное отношение – это отношение RA². Однородные бинарные отношения – важный тип отношений для многих приложений информатики и других разделов дискретной математики, в частности, для задач теории графов. Забегая вперед, скажем, что ребра любого графа задают однородное бинарное отношение на множестве его вершин V. Множество точек на плоскости с заданной системой координат (X,Y) – это тоже однородное бинарное отношение, где A – множество действительных чисел.

Свойства однородных отношений рекомендуется добросовестно выучить, чтобы потом без затруднений читать специальную литературу по базам данных, теории графов и некоторым другим теоретическим разделам информатики. Эти свойства позволяют выделить особые виды однородных отношений, имеющие важное практическое значение.

Свойства однородных отношений.

1. Рефлексивность:  aA имеет место отношение (a,a). То есть отношение (a,b) всегда существует при a=b. Свойство рефлексивности означает, что IR.

2. Антирефлексивность:  aA имеет место (a,a). То есть отношение (a, b) не существует ни при каких a=b.

Если для каких-то a=b отношение существует, а для каких-то нет, то следует говорить, что отношение просто не рефлексивно.

Примеры рефлексивных отношений на множестве точек плоскости XY:

1) R={(x,y) | x=y};

2) R={(x,y) | |y|<|x|+1};

3) R={(x,y) | x+y=2k, k=1,2,…,n}.

3. Симметричность:  a,bA (a,b)R  (b,a)R. Свойство симметричности означает, что R^-1R.

Симметричными отношениями на множестве точек плоскости XY являются отношения 1) и 3) из приведенных выше.

4. Антисимметричность:  a,bA , ab, (a,b)R  (b,a)R. То есть условие симметричности не выполняется ни при каких a,b. Простейший пример антисимметричного отношения на XY – строгое неравенство x<y.

Если для каких-то ab симметричность выполняется, а для каких-то нет, то следует говорить, что отношение R просто не симметрично. Примером такого отношения является отношение 2).

5. Транзитивность.  a,b,cA (a,b)R & (b,c)R  (a,c)R. Очень важное свойство отношений.

Свойство транзитивности можно записать через степень отношения (композицию отношения с самим собой): R² =R  R  R.

Антитранзитивность обычно не рассматривают, хотя можно и ее определить так же, как в первых двух случаях.

Примеры транзитивных отношений:

1) все три примера, приведенных выше;

2) x<y ( в том числе и нестрогое неравенство);

3) отношение вложенности на B(U): пусть A,B,C  U. Если A  B & B  C  A  C.

6. Полнота (линейность):  a,bA , ab  (a,b)R  (b,a)R . Полнота отношения означает, что R  R^-1  I = U_R.

Свойство полноты, вообще говоря, довольно редкое. Пример полного отношения - неравенство xy.

Отношения эквивалентности и отношения порядка.

Определение 1. Если однородное отношение RA²:

1. рефлексивно,

2. симметрично,

3. транзитивно,

то оно называется отношением эквивалентности. Отношение эквивалентности часто обозначается «», как и операция эквивалентности в логике. Множество элементов aA, для которых выполняется отношение эквивалентности R, называется классом эквивалентности. Класс эквивалентности будем обозначать [x]_:

[x]_ = {y | yA & yx}.

Из рассмотренных выше примеров отношениями эквивалентности являются примеры 1) и 3).

Примером отношения эквивалентности на B(U) может служить отношение равномощности множеств: |A|=|B|. То есть все подмножества из U одинаковой мощности образуют класс эквивалентности.

Определение 2. Если однородное отношение RA²:

1. антисимметрично,

2. транзитивно,

то оно называется отношением порядка. Если отношение при этом еще и антирефлексивно, то это отношение строгого порядка. Ясно, что отношение нестрогого порядка может быть как рефлексивным, так и просто не рефлексивным.

Для обозначения отношения порядка можно использовать обычный знак неравенства.

Если отношение порядка не обладает свойством полноты (линейности), то обычно говорят об отношении частичного порядка. В задачах дискретной математики и информатики чаще всего встречается именно этот тип отношений.

Если на множестве А определено отношение частичного порядка, то оно называется частично упорядоченным. Множество, на котором определено отношение полного порядка, называется вполне упорядоченным. Например, числовые множества – это вполне упорядоченные множества.

Теорема. На всяком конечном, непустом, частично упорядоченном множестве существует минимальный элемент y |  xy y<x.

Вполне упорядоченное множество содержит только один минимальный элемент, на частично упорядоченном множестве их может быть несколько.

Булеан B(U), - это вполне упорядоченное множество относительно отношения вложенности (). Минимальным элементом в этом случае является пустое множество .

Замыкание отношений.

Пусть R и R’ – однородные отношения на множестве A. Отношение R’ называется замыканием отношения R относительно свойства C, если 1) R’ обладает свойством C; 2) R является подмножеством R’: RR’; 3) R является наименьшим среди всех R’’, таких что имеет место C(R’’) и R R’’.