3.3. Изоморфизм графов.

Когда мы описывали графы для ввода в ЭВМ, мы нумеровали вершины произвольным способом, из чего можно сделать вывод, что вид графа не зависит от того, как мы пронумеровали вершины. То есть, конечно, что-то изменится в его конкретном компьютерном описании, но все такие описания будут соответствовать ровно одной и той же графической конструкции. Поэтому говорят, что графы G и G’ изоморфны, если один получается из другого перенумерацией вершин.

Если рассмотреть матрицы смежности этих графов, то для получения A’ из A нужно поменять местами соответствующие строки и столбцы матрицы A. То есть для компьютерной программы изоморфизм отнюдь не очевиден, и поиск изоморфных графов представляет собой задачу перебора, как, кстати, и многие другие задачи теории графов. Хотя перебор во многих случаях может быть существенно сокращен за счет использования каких-то свойств анализируемых графов.

Математически изоморфизм определяют как биекцию VV’, сохраняющую смежность, или, если каждой вершине из V инцидентно хотя бы одно ребро, биекцию EE’. Вот, кстати, повод вспомнить, что такое биекция. Прежде всего, это функциональное отношение или просто функция. То есть для каждого прообраза e=(v_i,v_j) существует единственный образ e’=(v’_i,v’_j). Эта функция тотальна и сюръективна, поскольку V=V’. А поскольку каждому ребру e’ соответствует только одно ребро e, то данная функция инъективна. Таким образом, мы имеет тотальную инъективную и сюръективную функцию, то есть биекцию.

Рассмотрим теперь свойства этого биективного функционального отношения. Прежде всего, заметим, что оно однородно, поскольку определено на множестве {G}{G}.

Рефлексивность. Отношение двух одинаковых графов с одинаковой нумерацией вершин есть тождественное отношение. Следовательно, наша биекция рефлексивна.

Симметричность. Если два графа отличаются только порядком нумерации вершин, то мы можем как первый получить из второго, так и второй получить из первого обратной перенумерацией вершин. Значит, отношение симметрично.

Транзитивность. Если мы можем получить G₂ из G₁, заменив каждый номер i₁ на номер i₂, а G₃ получить из G₂, заменив каждый номер i₂ на i₃, то выполнив операцию композиции с каждой тройкой номеров вершин i₁, i₂, i₃, мы получим из графа G₁ граф G₃.

Итак, получается, что отношение изоморфизма между графами есть отношение эквивалентности, а множество изоморфных графов образует класс эквивалентности. Это означает, что все свойства графа мы можем рассматривать «с точностью до изоморфизма», то есть для всего класса изоморфных (эквивалентных) графов. Именно отсюда проистекает понятие инвариантов – числовых характеристик, одинаковых для всех изоморфных графов. Основные инварианты графа – это число вершин p и число ребер q. В регулярных графах инвариантом является степень регулярности n. Для нерегулярных графов мы можем рассматривать, например, такие инварианты, как максимальная степень вершины _max, минимальная степень вершины _min, число вершин заданной степени k и т.п. По мере изучения мы введем в рассмотрение еще ряд полезных инвариантов. Но, к сожалению, не существует набора инвариантов, который бы однозначно описывал весь класс эквивалентных графов. Именно поэтому для поиска изоморфных графов в общем случае приходится использовать перебор.

Упражнения.

1. Изоморфны ли графы, заданные следующими списками смежности? Объясните ответ.

   1. 2,3,4; 2) 1,4,5; 3) 1,5; 4) 1,2; 5) 2,3.

1) 2,3; 2) 1,3,4,5; 3) 1,2; 4) 2,5; 5) 2,4.

2. Е сть ли среди следующих графов изоморфные? Если есть, то какие?

3. Есть ли среди графов, заданных следующими списками смежности, изоморфные?

   1. 2,3,5; 2) 1,3; 3) 1,2,4,5,6; 4) 3,6; 5) 1,3; 6) 3,4.

1. 2,3,4,5,6; 2) 1,6; 3) 1,6; 4) 1,5; 5) 1,4; 6) 1,2,3.

1. 2,5; 2) 1,3,4,5,6; 3) 2,4; 4) 2,3; 5) 1,2,6; 6) 2,5.