Вычисление обратной величины

Задача: нахождение такого x, что (a*x) mod  n =1, т.е. а^-1 x mod n.

Решение будет единственным, если a и n – взаимно простые.

Основные способы решения задачи:

1. Проверить поочередно значения 1,2,3…n-1 , пока не будет найден

a *a^-11 mod n.

2. Если известна функция Эйлера (n), то можно вычислить a^-1 mod n  a^(n)-1 mod n используя алгоритм быстрого возведения в степень.

(n) – количество положительных целых от 1 до n, которые взаимно простые с n.

3. Используя расширенный алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя (НОД).

Любое целое >1 может быть представлено единственным образом как произведение простых (с точностью до порядка следования).

Алгоритм вычисления наибольшего общего делителя чисел a и b

При использовании расширенного алгоритма Евклида во время вычисления НОД попутно вычисляются такие целые u₁ и u₂, что a*u₁+b*u₂=НОД(a,b).

Используем векторные обозначения:

Дано: a,b

Определяем такой u (u₁,u₂,u₃), что a*u₁+b*u₂= u₃ = НОД(a,b)

Используются вспомогательные вектора v (v₁,v₂,v₃) и t (t₁,t₂,t₃).

Для вычисления a^-1 mod n используется частный режим работы расширенного алгоритма Евклида, при котором b = n, НОД(a,n) = 1 и этот алгоритм определяет вектор u: u₃=1

a *u₁+n*u₂= 1

u₁ = a^-1 mod n

Авторы:

Кандидат технических наук, доцент Полпудников Сергей Викторович

Кандидат технических наук Трешневская Вероника Октавиановна

Кандидат технических наук Джинчарадзе Георгий Владимирович

85