22)Внешняя устойчивость графа

Положительная/Отрицательная устойчивость графа

1. Условимся считать, что любая вершина графа покрывает сама себя и 2 смежные вершины покрывают друг друга, тогда минимальна мощность множества вершин, покрывающего все вершины графа называется числом внешней устойчивости графа β₀(G)

Если граф ориентированный, то β₀⁺ (положительное число внешней устойчивости графа) – минимальная мощность множества вершин.V⁺={V_i⁺} такого, что {V_i⁺}U{Г V_i⁺}=V

При удалении хотя бы одной вершины из V⁺, данное соотношение не выполняется.

Это число определяет минимальное количество вершин, из которых наблюдаются вершины графа.

β₀^- - минимальная мощность множества вершин.

V^-={V_i^-} такого, что {V_i^-}U{Г^-1 V_i}=V

β₀⁺(G) вычисляется как минимальная мощность покрытия столбцов строками.

β₀^-(G) вычисляется как минимальная мощность покрытия строк столбцами в модифицированной матрице смежности Š(G) графа G.

Модифицированной матрицей смежности называется дизъюнкция матрицы смежности и единичной диагональной матрицы.

23) Квазиполные графы и их свойства. Структура квазиполных графов.

Квазиполным графом Q(q) называют граф Q, для минимальной раскраски которого необходимо q-красок, а при раскраске любого собственного частичного графа Q` Q достаточно q`-красок, где q`<q

Число красок при этом называется квазиплотностью и определяется выражением:

q(G)=max q_i(Q_i), Q_i  G

Порядок квазиполного графа это число k(Q) = q(Q)-p(Q), где p(Q) – плотность графа.

Если хроматическое число меняется при удалении одной вершины, то этот граф критический.

Плотность графа – максимальная мощность полного подграфа. (Полный граф – такой граф, в котором все вершины смежны)

Основное свойство квазиполных графов – при удалении хотя бы одного ребра хроматическое число уменьшается на единицу.

Повышение порядка квазиполного графа:

1.Для построения Q(p,k) необходимо построить Q(p,k-1)

2.Для всех V_i  V(Q(p,k-1) создать вершину V_i’ такую, что  V_i’ : О(V_i’) = О(V_i)

3.Создать вершину V_о ; О(V_о)={ V_i’} , для всех i

Вершины V_i’ называются замещающими, V_о – замыкающая вершина.

Теорема: Сумма квазиполных графов является квазиполным графом.

Для квазиполных графов справедливо свойство включаемости:

Q (p, k)  Q (p+1, k+1)

Например: Q(2,0)  Q(2,1)  Q(2,2)  Q(3,2)

24) Гиперкуб

Гиперкуб – это математическая модель дискретного пространства.

Гиперкуб – это граф, носитель которого соответствует точкам математического пространства, и две вершины смежны в том случае, если соответствующие им точки пространства имеют общую границу, т.е. расстояние по Хэммингу между координатами этих точек =1.

Иначе говоря, гиперкуб – это математическая модель дискретного пространства размерности n, представляющая собой граф, носителем которого являются вершины, каждая из которых соответствует точке пространства, и два вершины соединяются ребром, если между точками, соответствующими этим вершинам, есть различие и только в одном разряде. Мощность его носителя равна 2ⁿ, мощность сигнатуры равна n*2^n-1.

Для булевого пространства, т.е. пространства, в котором каждая координата может принимать значение 0 или 1, расстояние по Хэммингу равно количеству различных координат (различных разрядов в координатах).

Свойства гиперкуба, вытекающие из ярусной упорядоченности вершин гиперкуба:

Если вершины в гиперкубе упорядочены по ярусам таким образом, что в одном ярусе сгруппированы вершины, в кодах которых одинаковое количество нулей или единиц, то:

1)количество ярусов = n+1, где n – размерность гиперкуба.

2) количество вершин в каждом ярусе , n – размерность, k - значность

3) вершины в ярусе смежны только с вершинами из верхнего яруса или из нижнего яруса.

+ 4) степень вершины гиперкуба размерности n равна n.

5) размерность n содержит 2ⁿ вершин

3) H=2 для любого гиперкуба с k=2 (если значность k гиперкуба равна 2, то хроматическое число H равно 2.

Гиперкубы находят применение в теории кодирования при передаче данных и при проектировании автоматов.