7)Граф. Способы задания графа.

Граф G – совокупность множества М с заданным бинарным отношением Т, G=<M,T>.

Граф G – совокупность множества вершин и множества дуг. G=<V,U>

Способы здания:

1)Теоретико-множественный: граф описывается перечислением множества вершин и дуг.

2)Графический(?)

3)Матричный:

I тип – матрица инцеденций. Если граф G содержит n вершин и m дуг, то матрица инцеденций – A(G)=[a_ij]_m*n , где a_ij =1( если вершина v_j – начало дуги u_i), -1 ( если вершина v_j – конец дуги u_i) или 0( если вершина v_j не коинцедентна дуге u_i).

Но эта матрица не подходит для графов с петлями. Для этого применяются А­⁺ и А­^- , где А­⁺ -начальная , а А­^- конечная матрица инцеденций.

А­⁺ (G)=[a⁺_ij]_m*n , где a⁺_ij =1 ( если вершина v_j – начало дуги u_i ) или 0( в противном случае).

А­^- (G)=[a^-_ij]_m*n , где a^-_ij =1 ( если вершина v_j – конец дуги u_i ) или 0( в противном случае).

II тип – матрица смежности S.

S=[s_ij]_n*n , где s_ij = 1 (если ребро (v_i,v_j) принадлежит U) и 0 (в противном случае).

Билет №8: Операции над множествами

Для представления графов в виде композиции более простых графов существует 3 операции:

1. Объединение графов: Ga=<Va,Ua> b и Gв=<Vв,Uв> называется граф G<V,U>, носитель и сигнатура которого является соответственно теоретико- множественным объединением носителей Va и сигнатур Ua, Uв графов Ga, Gв.

2. Суммой графов Ga=<Va,Ua> b и Gв=<Vв,Uв> называется граф G<V,U>, представляющий собой объединение графов Ga, Gв и двудольного полного графа , построенного на носителях

Va\Va∩Vв и Vв\Va∩Vв

3. Декартовое произведение графов Ga=<Va,Гa> b и Gв=<Vb,Гb> называется граф G<V,Г>,

Г(Uai,Uвi) = Гuai х Гuвi

Билет №9: Связность графа

Граф G<V,U> наз-ся связным, если любая его вершина соединена цепью.

Компонент связности – максимальный по включению вершин связный подграф графа.

Граф наз-ся несвязным, если число его компонент больше одной.

Алгоритм связанности графа и числа его компонент:

Теорема: Элемент матрицы Sⁿ, где S=[S_ij]-матрица смежности, S_ij есть множество последовательных идентификаторов ребер, образующих цепь между U_i и U_j , представляет собой множество цепей длины и, соединяющих вершины U_i и U_j.

При возведении в n-го степень матрицы смежности S=[ S_ij] умножение рассматривается, как конкатенация (справа к идентификатору, соответствующему i-й строке, идентификатора, соответствующему j-му столбцу)

Расстояние r(U_i , U_j) – это минимальная длина цепи, соединяющей вершины U_i и U_j: r(U_i , U_j) = max min L_k(U_i , U_j).

Метрика – введенная на множество всех вершин (U_i , U_j) графа G функция r(U_i , U_j)

Условие связности:

D (G) =Σ^M(G)_i=1[S]^I

Алгоритм определения связности графа.

Возводим матрицу S В n-ую степень

Здесь в матрице Sⁿ S_IJ- пути из V_i в V_j длиной n.

2. Если в матрице d’ нет нулевых элементов граф является связным (к=1), d(G)- диаметр графа - кратчайший путь между вершинами.

3.связность графа (X(G)) наименьшее число вершин, удаление которых делает граф несвязным.

Если X(G)=n, то граф называется n-связным.

Рёберная связность (M(G))- наименьшее количество рёбер, удаление которых делает граф несвязным.

Разрез графа – множество рёбер, при удалении которых связанный граф перестает быть связным, а при добавлении в это множество хотя одного ребра, не вошедшего в это множество граф, становится связным.

Х - поциклический рост - число ребер в остовном лесе графа:

Х(G)=|V|- k

Дерево - связный граф, не содержащий циклов.

Остовной подграф - подграф, содержащий все вершины графа.

Остов - остовной подграф являющийся деревом.

Остовной лес- граф, каждая компонента которого связности которого является остовным деревом.

10) Алгоритм порождения всех цепей графа

1) Создать матрицу смежности (не бинарную) 2) Найти диаметр (сложить (1)+ (1)^2, привести к квадратной) 3) Возвести ее в квадрат (и так далее(3, 4, диаметр графа))

11) Определение связности графа.

Алгоритм определения связности графа.

Возводим матрицу S В n-ую степень

Здесь в матрице Sⁿ S_IJ- пути из V_i в V_j длиной n.

2. Если в матрице d’ нет нулевых элементов граф является связным (к=1), d(G)- диаметр графа - кратчайший путь между вершинами.

3.связность графа (X(G)) наименьшее число вершин, удаление которых делает граф несвязным.

Если X(G)=n, то граф называется n-связным.

12) Сильная связность графа.

Граф G = <V,U> называется сильно связным, если любая пара вершин соединена путем.

Максимальной по включению вершин сильно связанный подграф графа называется его компонентой сильной связности.

Граф называется несильно связанным, если число его компонент сильной связности больше 1.

13) Алгоритм порождения контуров в графе.

По очереди удаляете из графа рёбра. Если удаление ребра не приводит к появлению висячих узлов и не разваливает граф на две части, тогда ОК. Если приводит или разваливает — возвращаете ребро на место. Когда переберёте всё рёбра, граф превратится в дерево и удалёнными окажутся N рёбер. Это значит, что в графе N независимых контуров. Для каждого удалённого ребра строите по дереву путь, соединяющий его вершины. Вместе с самим ребром этот путь образует один из независимых контуров.