29. Скорость и ускорение точки в полярных координатах

Рассмотрим, как вычисляются скорость и ускорение точки при задании ее движения в полярных координатах, то есть когда заданы уравнения движения точки в виде r = r(t); = (t).

В этом случае векторы v и a определяются по их проекциям на взаимно перпендикулярные подвижные оси Pr , имеющие начало в точке Р и движущиеся вместе с нею (см.рис.). Эти оси направлены следующим образом:

ось Pr направлена по радиусу-вектору точки в направлении от полюса О к точки Р;

ось P получается путем поворота вокруг точки Р оси Pr на прямой угол в положительном направлении отсчета угла , то есть против хода часовой стрелки.

Определение скорости точки

Вектор скорости v точки направлен по касательной к траектории и определяется своими проекциями vr и на оси Pr и P по формулам: vr = dr/dt = ; = r(d /dt) = r .

Величины vr и соответсвенно называются радиальной и трансверсальной скоростями точки.

В зависимости от знаков производных и радиальная и трансверсальная скорости могут быть как положительными, так и отрицательными (на рисунке показан случай, когда обе эти скорости положительные). Модуль скорости v = ( vr2 + 2 ) 1/2.

Определение ускорения точки

Вектор ускорения a точки направлен в сторону вогнутости траектории и определяется своими проекциями ar и на оси Pr и P по формулам: ar = d2r/dt2 - r (d /dt)2 = - r ( )2;

= r (d2 /dt2) + 2 (dr/dt) (d /dt) = r + 2 .

Величины ar и соответсвенно называются радиальным и трансверсальным ускорениями точки.

Радиальное и трансверсальное ускорения могут быть как положительными, так и отрицательными (на рисунке показан случай, когда радиальное ускорение положительное, а трансверсальное - отрицательное). Модуль ускорения a = ( ar2 + 2 )1/2 .

30. Поступательное движение

Поступательное движение – это движение, при котором любая прямая, связанная с телом, перемещается параллельно самой себе. На рисунках 2.1,а и 2.1,б приведены примеры поступательного движения: движение прямоугольника в плоскости чертежа, движение каждой кабины колеса обозрения.

а б 2.2

Исходя из определения поступательного движения, движение твердого тела может быть задано в векторном виде формулой (рисунок 2.2): rM=rA + AM. В этой формуле AM - вектор постоянный по величине и направлению, поэтому производная от него равна нулю. Для скорости и ускорения произвольной точки M получим:

То есть скорости и ускорения точек твердого тела при поступательном движении равны и одинаково направлены, а траектории при наложении совпадают.Для определения кинематических характеристик точек тела достаточно знать закон движения одной из них.