51. Определение и свойства отношения порядка на множестве действительных чисел
Определение: Отношением порядка называется рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение на множестве.
Определение: Линейно упорядоченное множество называется плотным, если для любых разных элементов этого множества элемент, который находится между ними.
Теорема: Отношение «больше» на множестве действительных чисел является отношением строгого линейного порядка.
Доказательство:
Антирефлексивность:
Асимметричность:
Транзитивность:
Пусть
,
тогда
.
Линейность: отношение порядка назыв. линейным, если
.
Пусть
Значит
Пусть,
например,
⊠
Свойство:
На
множестве
отношение порядка согласуется с
отношением порядка на множестве
рациональных чисел.
Доказательство:
Так как в дроби имеют конечную длину, то это же отношение выполняется и на . ⊠
52. Плотность множества в множестве действительных чисел
Теорема. Множество D плотно в множестве действительных чисел, т.е. между любыми двумя не равными действительными числами находится конечная десятичная дробь.
Доказательство:
и пусть
Рассмотрим 3 случая:
2.
3.
;
можно считать
такое
n
по определению отношения «
».
,
Покажем,
что дважды равенство
получиться
не может
ОП:
,
начиная с некоторого
,
тогда:
Следовательно,
=
9, начиная с некоторого номера, а это
невозможно по определению действительного
числа ?! Таким образом, в (1) одно из
нестрогих неравенств является строгим
для некоторого индекса
,
тогда равенство
и между
и
находится конечная десятичная дробь
Между
и
находится 0, а это конечная десятичная
дробь.
Согласно
первому случаю
такая конечная десятичная дробь
,
что
, а следовательно
.
⊠
Следствие:
Пусть
последовательность, где каждое
десятичная дробь с n
знаками
после запятой. И пусть
такие, что:
тогда
Доказательство:
Пусть
.
по
предыдущей теореме из того, что
=>
конечные десятичные дроби
и
,
что
,
тогда
,
.
?! (противоречит архимедовости). ⊠
53. Определение и свойства суммы и произведения действительных чисел. Поле действительных чисел и его свойства
Определение:
Пусть
.
Суммой чисел
и
называется
действительное число
Теорема: Множество является аддитивной абелевой упорядоченной архимедовой группой. Сложение на согласуется со сложением на .
Доказательство:
Сложение - б.а.о. По определению .
Поэтому
множество
ограничено сверху и поэтому
коммутативность
– рациональные
числа (конечные десятичные дроби), а
сложение рац. чисел коммутативно.
сложение на и согласуется. Обозначим сложение на как
,
на
как +.
1.
2.
3.
Доказательство ОП.
ассоциативность.
аналогично
доказывается
Согласно следствию теоремы о плотности
существование нуля. 0 является нейтральным элементом относительно сложения.
противоположный элемент. Каждый элемент имеет противоположный
упорядоченная группа.
Архимедовость
По свойству архимедовости для рациональных чисел
⊠
Определение: Упорядоченная аддитивная абелева группа, для которой выполняется свойство Архимеда, называется архимедовой.
Поле действительных чисел.
Определение: Модулем действительного числа называется
Определение:
Пусть
действителные
числа, их произведением называется
действительное число, которое определяется
следующим образом:
Теорема:
Множество
является кольцом. Умножение на
согласуется с умножением на
.
Доказательство:
1. для сложения всё уже доказано
2. Умножение – б. а. о.
множество
ограничено сверху
этого множества.
и
единственным образом определено
умножение неотрицательных действ-ых
чисел.
Следовательно, определено умножение действительных чисел.
3. ассоциативность: доказательство достаточно провести для неотрицательных чисел, потому что для других чисел это следует из этого случая:
<
Аналогично:
согласно
следствию теоремы о плотности множества
D
в множестве
4.
дистрибутивность
– это равенство очевидно, если одно из
чисел
равно
,
или
.
Достаточно
доказать дистрибутивность для
Доказательство аналогично доказательству
для ассоциативности. ⊠
Теорема:
поле.
Доказательство:
достаточно доказать, что если
Будем
считать, что
Тогда
что
последовательность
ограничена
сверху
⊠
Теорема:
Множество действительных чисел содержит
множество рациональных чисел. Отношение
«=», отношение порядка, операции умножения
и сложения на множестве
согласуются с соответствующими операциями
на множестве
Доказательство:
Множество
содержит множество
,
поэтому мн-во
содержит мн-во чисел вида
⊠
54. Определение, свойства и алгебраические операции с комплексными числами. Действия над комплексными числами в алгебраической и тригонометрической формах. Вложение поля действительных чисел в поле комплексных чисел
Определение:
Системой комплексных чисел называется
множество
с операциями сложение и умножение:
; 
.
Теорема:
Система комплексных чисел
является полем.
Доказательство:
1.
Сложение коммут-но, ассоц-но, нулевой
элемент
;
противоположный
.
2.
Умножение коммутативно,
ассоциативно, единица
;
3. дистрибутивность ⊠
Обозначим
–
называется комплексной единицей.
.
.
Поэтому
.
Определение:
Комплексное число
записанное в виде
называется алгебраической формой
комплексного числа.
Утверждение: Сложение и умножение комплексных чисел в алгебраической форме:
;
;
Доказательство:
.
Аналогично для умножения. ⊠
Замечание:
Рассмотрим пару
.
Поставим в соответствие числа на
декартовой плоскости с координатами
.
Длина
вектора
эта
форма записи комплексного числа
называется тригонометрической.
Утверждение: Умножение комплексных чисел в тригонометрической форме:
; 
,
.
Утверждение:
Если
,
,
то
.
Определение:
Корнем -ой степени из компл. числа
назыв. такое число
,
что
.
Обозначение:
.
Теорема:
Пусть
- комплексное число, тогда
ровно
значений корня -ой степени из
и они находятся по формуле:
-
арифметическое значение корня.
Следствие: Корни степени из находятся в вершинах правильного -ка.
Следствие:
Мн-во
всех корней степени
из 1 является мультипликативной группой.
Доказательство:
бинарная
алгебраическая операция
⊠