47. Рациональное число как частное двух целых чисел. Поле рациональных чисел как наименьшее поле, которое содержит кольцо целых чисел

Свойство: Произвольное рациональное число можно представить как частное двух целых чисел.

Доказательство:

Теорема: Поле рациональных чисел является наименьшим полем, которое содержит кольцо целых чисел.

Доказательство: По ранее доказанному свойству каждое рациональное число можно представить как частное двух целых чисел.

Пусть – подполе поля , которое содержит .

– поле, поэтому содержит результаты всевозможных сумм, вычитаний и делений своих элементов, в том числе и целых чисел, поэтому содержит всевозможные частные целых чисел, но каждое рациональное число и есть частное 2-х целых чисел, поэтому или . ⊠

48. Представление рациональных чисел конечными и бесконечными периодическими дробями: длина периода и количество цифр в периоде

Определение: бесконечная десятичная дробь называется периодической, если существуют целые числа , такие, что дроби .

Наименьшее из таких называется длиной периода.

Если , то периодическая дробь называется чисто периодической (в этом случае период начинается сразу после запятой). Если , дробь называется смешанно периодической.

Теорема: пусть несократимая дробь. . Тогда представляется в виде бесконечной периодической дроби, длина периода к-ой равна порядку 10 по модулю .

Доказательство:

• , т.е. дробь правильная

Каждое ,

Все

Из получаем

…

Покажем, что дробь периодическая дробь. Каждое взаимно просто с , поэтому разные остатки принадлежат приведенной системе вычетов по модулю , их . Поэтому не позже, чем через шагов, остатки начнут повторяться.

Рассмотрим равенство по модулю : Первое равенство

Получим

Т.к. каждое взаимно просто с , то можем сократить на

Тогда

Если – порядок числа по , то

По усл. , , значит

• Докажем, что – наименьший период

ОП: пусть при

(противоречит тому, что порядок числа ) ⊠

49. Представление бесконечных периодических десятичных дробей обыкновенными дробями: правила и примеры

Правило: Чтобы записать чисто периодическую дробь в виде обыкновенной дроби, нужно период дроби записать в числителе, а в знаменателе записать столько 9 сколько цифр в периоде и полученную дробь добавить к целой части, т.е.

Пример:

50. Определение действительных чисел как бесконечных десятичных дробей. Множество конечных десятичных дробей Подходящие дроби. Десятичные приближения действительных чисел: определение, примеры, свойства

Определение: Действительным числом называется ,

где .

Выражение такого вида называется бесконечной десятичной дробью. Десятичная дробь называется конечной, если начиная с какого-то места все цифры равны 0.

Определение: Действительными числами называются бесконечные десятичные дроби кроме тех, в которых начиная с некоторого номера

Обозначение: множество конечных десятичных дробей.

Определение: Две десятичные дроби называются равными, если: для действительных чисел и

Определение: Будем говорить, что , если .

Определение: Пусть десятичная дробь. Десятичным приближением числа порядка называется число

Примеры:

1)

2)

Свойство:

Свойство: