38. Вложение множества натуральных чисел в кольцо целых чисел. Множество положительных целых чисел : определение, корректность определения, описание.
Определение:
Будем говорить, что целое число
положительное, если
.
И будем обозначать
множество
всех положительных целых чисел.
Свойство (корректность определения): Определение корректно.
Доказательство:
,
доказать:
⊠
Лемма:
Множество
имеет вид
Доказательство:
1)
,
2)
.
⊠
39.
Биекция
сохранение отношения «>», суммы и
произведения. Отображение
как вложение
в
Свойство:
биекция
Доказательство:
1)
если
отображение и иньекция
2)
⊠
Теорема:
Отображение
сохраняет отношение «больше чем», сумму
и произведение.
Доказательство:
⊠
Следствие:
Отображение
является
инъекцией, сохраняет сумму, произведение
и отношение «>».
Таким образом, является вложением в и позволяет нам рассматривать как подмножество в .
40. Целое число как разность двух натуральных чисел. Отрицательные и положительные числа. . Архимедовость и дискретность кольца целых чисел.
Свойство:
Положительное число
равно натуральному числу
.
Доказательство:
.
⊠
Свойство: Любое целое число равно разности натуральных чисел .
Доказательство:
Рассмотрим сумму
⊠
Определение:
Целое число
называется отрицательным, если
Свойство:
Число
положительное тогда и только тогда,
когда
.
Доказательство:
положительное
.
⊠
Свойство:
,
где
.
Свойство
(Архимедовость кольца целых чисел):
Доказательство:
1)
Если
(для
архимедовость доказана)
2)
Если
⊠
Свойство
(дискретность):
Каждое целое число
имеет соседнее число
,
т.е.
Доказательство:
1)
(для
дискретность доказана)
2)
Поставим в соответствие
отрицательное число
,
.
Получается биекция
От
противного: если бы для отрицательных
чисел выполнялось
,
то тогда бы, так как
– биекция,
,
что является противоречием для натуральных
чисел.
3) Нет целого числа между 1, 0 и -1, 0
натурального
числа перед
целого
числа между
и
отрицательного
перед
целого
числа между
и
.
⊠
41. Определение рациональных чисел как классов эквивалентности
Определение:
Будем
говорить, что пара
эквивалентна
паре
,
если
.
Обозначается
.
Пример:
Теорема:
Отношение «
»
определенное таким образом, является
отношением эквивалентности.
Доказательство:
1) Рефлексивность:
2) Симметричность: ?
3)
Транзитивность:
⊠
Свойство:
Доказательство:
⊠
Следствие:
Доказательство: симметрия относительно « » ⊠
Определение: рациональными числами будем называть классы эквивалентности
Обозначения:
Множество
Пример:
, 
,
42. Определение суммы рациональных чисел и его корректность. Аддитивная абелева группа рациональных чисел
Определение:
Суммой рациональных чисел
и
называется рациональное число
Пример:
Теорема (корректность определения): Сумма рациональных чисел не зависит от выбора пар, которые определяют слагаемые.
Доказательство:
докажем:
⊠
Теорема
(коммутативность сложения):
Доказательство:
Теорема
(ассоциативность сложения):
Доказательство:
⊠
Теорема:
Множество рациональных чисел имеет
нейтральный элемент относительно
сложения:
:
,
где
Доказательство:
⊠
Теорема:
Противоположным относительно сложения
для элемента
является число
Доказательство:
⊠
Следствие: абелева группа.