31. Счетность множеств целых и рациональных чисел. Несчетность множества действительных чисел
32. Отношение эквивалентности на множестве n2. Определение целого числа как класса эквивалентности на n2. Примеры
Определение:
Пусть
.
если
Пример:
…
Теорема: Отношение (эквивалентности) является отношением эквивалентности.
Доказательство:
рефлексивность:
симметричность:
транзитивность:
?
⊠
Свойство:
Доказательство:
⊠
Определение:
Целым
числом будем называть класс эквивалентности
относительно отношения эквивалентности
на
.
Мн-во
всех классов эквивалентности наз.
множеством целых чисел и обозначается
.
класс
эквивалентности пары
фактор-множество
по отношению эквивалентности.
Пример:
,
, 
33. Определение суммы целых чисел и его корректность
Определение:
суммой целых чисел
называется целое число
.
Теорема (корректность определения суммы): сумма не зависит от выбора представителя класса (суммы эквивалентных пар – эквивалентны).
Доказательство:
Докажем:
?
34. Свойство сложения целых чисел. Аддитивная абелева группа целых чисел
Теорема
(коммутативность сложения):
Доказательство:
⊠
Теорема
(ассоциативность сложения):
Доказательство:
⊠
Свойство:
целое число
явл. нейтральным отн. сложения в Z
.
Доказательство:
⊠
Определение: целое число наз. нулем.
Свойство:
,
который явл. противоположным к эл-ту
относительно сложения.
Доказательство:
?
⊠
Следствие: аддитивная абелева группа.
35. Определение произведения целых чисел и его корректность. Кольцо целых чисел и его свойства
Определение:
Произведением
называется целое число
Теорема (корректность опр. произв-ия): произведения эквивалентных пар эквивалентны.
Доказательство:
(*)
, 
(1)
: 
(2)
: 
(3)
(4)
(5)
(6)
(5)*
(7)
(8)
(4)+(8) 
⊠
Теорема
(коммутативность умножения):
Доказательство:
,
⊠
Теорема
(Ассоциативность умножения):
Доказательство:
⊠
Теорема
(Дистрибутивность):
Доказательство:
.
⊠
Следствие:
Коммутативное
кольцо.
Свойство:
где
единица.
Доказательство:
⊠
Коммутативное кольцо с единицей.
36. Отношение « » в кольце целых чисел и его корректность
Определение:
Будем говорить, что целое число
больше чем целое число
,
если
обозначается
.
Пример:
, 
Теорема (Корректность определения): Отношение «больше чем» не изменится при другом выборе пар, которые определяют эти числа.
Доказательство:
, 
доказать:
⊠
37. Отношение « » как отношение порядка в кольце целых чисел. Свойство трихотомии
Определение:
Будем говорить, что
если
или
.
Аналогично с
.
Теорема:
имеет место только одно из соотношений:
Доказательство:
и
– натуральные числа, которые находятся
в одном из следующих соотношений:
или
или
или 
или
. ⊠
Теорема: Отношение « » является отношением порядка на множестве Z.
Доказательство:
Рефлексивность:
Антисимметричность:
и
Транзитивность:
и
Докажем:
⊠