26. Свойства сложения и вычитания для натуральных чисел:

Теорема (свойства сложения и вычитания)

Если существуют соответствующие разности чисел , то выполняются следующие равенства:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

Доказательство:

8)

(1)

(1) ⊠

27. Суммы и произведения нескольких натуральных чисел. Обобщенный закон дистрибутивности. N-кратное натурального числа. Степень натурального числа с натуральным показателем и ее свойства

Определение (индуктивное) Пусть , тогда сумма натуральных чисел

1. 

2. Если сумма определена для натуральных чисел и , то

.

Замечание: Если все слагаемые в определении равны , то получим определение -кратного числу . Обозначается . .

Определение (индуктивное) Пусть , тогда произведение натуральных чисел

определяется индуктивно следующим образом:

1. 

2. Если сумма определена для натуральных чисел и , то

.

Теорема: 1) ( 2) (

Доказательство: 1) ММИ по

( – верно

.

2) ММИ по

(

( – верно

( . ⊠

Свойство: .

Доказательство: ММИ ( )

– верно

⊠

Свойство:

1) 2)

3) (если m>n) 4)

5) (если существует частное )

Доказательство: ⊠

28. Равномощные множества. Отношение эквивалентности «быть равномощными». Отрезок натурального ряда. Конечные и бесконечные множества

Определение: Множества и называются равномощными, если между ними существует взаимно-однозначное соответствие (биекция). ;

Свойство: Отношение «быть равномощным» является отношением эквивалентности

Доказательство:

• Рефлексивность:

• Симметричность: биекция биекция

• Транзитивность: , ;

биекция,

биекция

биекция ⊠

Определение: Пусть . Отрезком натурального ряда называется множество

Пример:

Определение: Множество , равномощное отрезку называется конечным.

Число называется количеством элементов множества.

Множество, которое не является конечным, называется бесконечным.

29. Теорема о равномощности конечного множества только одному отрезку натурального ряда

Теорема: конечное множество равномощно только одному отрезку натурального ряда

Доказательство: отрезок не может быть равномощным отрезку , если

ММИ(n)

?! Противоречие

если ?!

если

можем считать, что

Рассмотрим ограничения отображения на , т.к. - биекция, то ни один из элементов отрезка не отображается в элемент .

инъекция – инъекция

– биекция . ⊠

Определение: Пусть , число называется количеством элементов множества .

30. Лемма о наибольшем и наименьшем элементе в конечном множестве. Бесконечность множества натуральных чисел

Лемма: Каждое не пустое конечное множество содержит наибольший и наименьший элемент

Доказательство: ММИ по количеству элементов в множестве

если в множестве 1элемент, то он и наименьший и наибольший

, ,

каждое конечное множество , в котором элементов, содержит наибольший и наименьший элемент.

, ,

По предположению индукции в множестве выберем наибольший элемент и обозначим его . Сравниваем и и выбираем наибольший элемент. Это и будет наибольший элемент множества . Аналогично находим наименьший элемент множества . ⊠

Теорема: Множество всех натуральных чисел бесконечно

Доказательство (от противного): По лемме, в каждом конечном множестве существует наибольший элемент , но . Получили противоречие. Следовательно, максимального элемента нет, а значит множество натуральных чисел бесконечно. ⊠