6. Теорема о сложении натуральных чисел: существование
Определение: Сложением натуральных чисел называется функция , причем выполняются условия:
При фиксированном числе ф-ция определяет ф-цию , которая удовлетворяет след условиям:
1. (1)
(2)
Теорема: сложение натуральных чисел всегда можно выполнить и оно определено единственным образом.
Доказательство
(Существование):
Докажем:
,
к-ая удовл ус. (1), (2)
ММИ( )
Пусть есть функция , которая удовлетворяет условиям (1), (2):
Докажем
что
и
которая удовлетворяет условиям:
Определим
функцию:
⊠
7. Ассоциативность сложения натуральных чисел
Теорема
(закон ассоциативности сложения):
Доказательство: выберем и произвольным образом и зафиксируем их.
Докажем теорему ММИ по :
?
Пусть
Докажем
⊠
8. Коммутативность сложения натуральных чисел
Теорема
(закон коммутативности сложения):
Доказательство: ММИ( ), выберем произвольно и зафиксируем.
?
ММИ
по
истина
,
Докажем
Пусть
Докажем
⊠
9. Умножение натуральных чисел: определение, примеры. Теорема об умножении натуральных чисел: единственность.
Определение :
Умножением
натуральных чисел называется функция
,
которая удовлетворяет следующим
условиям:
Пример:
Найти 3
5
по определению
Теорема : Умножение натуральных чисел всегда можно выполнить и оно определено единственным образом.
Доказательство:
, которая удовлетворяет следующим условиям:
1)
2)
При
фиксированном числе
функция
определяет функцию
,
которая удовлетворяет следующим
условиям:
1)
(1)
2)
(2)
единственность. Докажем, что функция , которая удовлетворяет условиям (1) и (2) определена единственным образом.
Пусть
существует еще одна функция
,
которая удовлетворяет условиям:
1)
2)
Докажем, что .
ММИ ( ):
База
Пусть .
Докажем :
⊠
10. Умножение натуральных чисел: определение, примеры. Теорема об умножении натуральных чисел: существование.
Определение :
Умножением натуральных чисел называется функция , которая удовлетворяет следующим условиям:
Пример: Найти 3 5 по определению
Теорема : Умножение натуральных чисел всегда можно выполнить и оно определено единственным образом.
Доказательство:
, которая удовлетворяет следующим условиям:
1)
2)
При фиксированном числе функция определяет функцию , которая удовлетворяет следующим условиям:
1) (1)
2) (2)
Существование:
Докажем:
,
к-ая удовл ус. (1), (2)
ММИ( )
Пусть есть функция , которая удовлетворяет условиям (1), (2):
Докажем
что
и
которая удовлетворяет условиям:
Определим
функцию:
⊠
11. Закон дистрибутивности на множестве натуральных чисел (правый).
Определение :
Умножением натуральных чисел называется функция , которая удовлетворяет следующим условиям:
Теорема
(закон
дистрибутивности):
Доказательство Фиксируем и . ММИ ( ):
Пусть
Докажем:
?
⊠