55. Определение кватернионов. Алгебраические операции над кватернионами. Тело кватернионов

Определение: Алгеброй называется N-мерное векторное пространство над полем действительных чисел, если в нем однозначно определена и всегда выполняется операция умножения, ассоциативная, дистрибутивная относительно сложения и связанное с умножением элементов на действительные числа следующее равенств:

, где ( – алгебра)

Такая алгебра называется алгеброй ранга .

Замечание: Алгебра является кольцом. Это кольцо не всегда коммутативно.

Определение: Если в алгебре ранга n выполнимо деление, то она называется телом (алгеброй с делением ранга ).

Замечание: Тело может быть не коммутативным.

Алгебра ранга имеет некоторый базис , , …, . Каждый её элемент можно представить виде

т.е. произведение выражается через всевозможные произведения базисных векторов. Таких произведений будет

Пример алгебры:

1. Поле действительных чисел можно рассматривать как одномерное ( ) векторное пространство с одним базисным вектором . Любой элемент этого пространства можно рассматривать как вектор

Свойства: В этой алгебре выполнимо деление, поэтому алгебра с делением ранга 1, причем коммутативна.

2. Поле комплексных чисел :

,

Коммутативная алгебра с делением ранга 2.

3. Тело кватернионов : имеет базис из 4 элементов ( ): , , ,

	1	i	J	k
1	1	i	J	k
i	i	-1	K	-j
j	j	-k	-1	i
k	k	j	-i	-1

Пользуясь таблицей умножения можно найти произведение 2-х любых кватернионов.

Замечание: Умножение ассоциативно и это легко проверить:

Алгебра – есть алгебра с делением, т.е. тело (не коммутативное поле). Для этого достаточно убедиться, что в содержится единица, и любой кватернион не равный 0 имеет обратный:

Роль 1 играет 1.

Определение: Если , то число называется сопряженным к числу .

Найдем чему равно произведение .

называется нормой числа .

Замечание: Нахождение частного от деления кватерниона на сводится к решению двух (умножение не коммутативно) уравнений:

1) – решается умножением обеих частей справа на

2) – решается умножением обеих частей слева на

1)

2)

Пример: Найти из уравнения , если ,

∙

Вывод: Алгебра кватернионов есть алгебра с делением ранга 4 над полем действительных чисел (или тело).

56. Вложение поля комплексных чисел в тело кватернионов. Теорема Фробениуса

Утверждение: Тело кватернионов содержит поле комплексных чисел

Доказательство: поставим в соответствие комплексное число .

Это соответствие взаимно однозначно (биекция) и оно сохраняет операции сложения и умножения:

q₁=a₁+b₁i+0j+0k

q+q₁=(a+a₁)+(b+b₁)i+(0+0)j+(0+0)k

z+z₁= (a+a₁)+(b+b₁)i

qq₁=(aa₁-bb₁)+(ab₁+a₁b)i+0j+0k что соответствует

zz₁=(aa₁-bb₁)+(ab₁+a₁b)i

Таким образом, множество кватернионов вида изоморфно полю комплексных чисел, отсюда следует, что тело кватернионов есть одно из расширений поля комплексных чисел. ⊠

Теорема Фробениуса: Алгебра с делением над полем действительных чисел является или полем действительных чисел или полем комплексных чисел или телом кватернионов.

Замечание: Теорема Фробениуса устанавливает предел расширения числовых полей, а именно последним числовым полем, включающим все предшествующие числовые поля и кольца в порядке их расширения, является телом кватернионов (не коммутативным).

Если не требовать, чтобы числовая система была алгеброй с делением, то возможно построение скольких угодно гиперкомплексных систем или алгебр любого ранга, причем не только над , но и над другими полями.

Например: Над полем можно построить алгебру бикватернионов также, как алгебра кватернионов строится над полем действительных чисел. Каждый бикватернион имеет вид , где и – элементы базиса с той же таблицы умножения как в алгебре кватернионов, но алгебра бикватернионов не обладает делением.

61