5 .Основные понятия и определения дифференциальных уравнений высших порядков

Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид   или, если оно разрешено относительно  ,

(1)

undefined  уравнения (I), удовлетворяющего начальным условиям

(2)

называется задачей Каши для уравнения(2)

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка (1) называется множество всех его решений, определяемое формулой  , содержащей   произвольных постоянных   таких, что если заданы начальные условия (2), то найдутся такие значения  , что   будет являться решением уравнения (1), удовлетворяющим этим начальным условиям.

Любое решение, получаемое из общего решения при конкретных значениях произвольных постоянных  называется частным решением дифференциального уравнения (1).

Уравнение вида  , которое определяет неявно общее решение дифференциального уравнения, называется общим интегралом уравнения. Давая постоянным  , конкретные допустимые числовые значения, получим частный интеграл дифференциального уравнения. График частного решения или частного интеграла называется интегральной кривой данного дифференциального уравнения.

Пример 1. Показать, что   есть общее решение дифференциального уравнения  .

Решение. Покажем, что   удовлетворяет данному уравнению при любых значениях постоянных   и  . В самом деле, имеем  .

Пусть теперь заданные произвольные начальные условия  . Покажем, что постоянные   и   можно подобрать так, что   будет удовлетворять этим условиям. Имеем    . Полагая  , получаем систему

из которой однозначно определяются   и  . Таким образом, решение   удовлетворяет поставленным начальным условиям.

Геометрически это означает, что через каждую точку   плоскости   с заданным угловым коэффициентом   проходит единственная прямая.

Задание одного начального условия, например  , определяет пучок прямых с центром в точке  , т.е. одного начального условия недостаточно для выделения единственного решения.

5. Понижение порядка дифференциального уравнения

Во многих случаях удается свести дифференциальное уравнение  -го порядка

                                                          (1)

к дифференциальному уравнению более низкого порядка, путем введения новой неизвестной функции. Рассмотрим некоторые типы уравнений, допускающих понижение порядка.

I. Пусть левая часть уравнения (1) не содержит явно искомую функцию  , т. е. уравнение имеет вид

.                                                     (2)

Введем новую функцию  , тогда   и уравнение (2) перепишется так:

,                                                              (3)

т. е. относительно функции   оно представляет собой уравнение  -го порядка.

Любое решение  , этого уравнения мы должны подставить в дифференциальное уравнение   и решить последнее относительно  : .

Появилась произвольная постоянная. Часто некоторые решения дифференциального уравнения (3), не обязательно все, образуют семейство функций

,

зависящих от   параметров  . Ему соответствует семейство решений   дифференциального уравнения (2)

,

зависящих от   параметров  .