Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
ИИ.1часть_2.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
1.49 Mб
Скачать

3.1. Понятие формальной системы

Появление формальных систем было обусловлено осознанием того факта, что совершенно различные системы, будь то технические, социальные, экономические или биологические, обладают глубоким сходством.

В формальной системе (ФС), оперирующей теми или иными символами, эти символы воспринимаются просто как элементы, с которыми обращаются согласно определенным правилам, зависящим только от формы выражений, образованных из символов. Понятие истинности появляется только в связи с возможными приложениями (интерпретациями) этой системы.

Формальные системы – это аксиоматические системы, т.е. системы с наличием определенного числа исходных, заранее выбранных и фиксированных высказываний, называемых аксиомами.

Формальную систему называют также аксиоматикой, или формальной теорией, еще проще – множеством формул. Формальная система – это совокупность следующих компонентов:

Ф =  Т, L, Q, R,

где Т – множество базовых элементов (конечный алфавит), единственное требование к элементам множества Т – для всякого элемента за конечное число шагов можно узнать, принадлежит ли он Т или нет, и отличать одни элементы от других, отождествляя одинаковые элементы;

L – множество синтаксических правил построения слов и формул;

Q – множество выделенных синтаксически правильных образований (аксиом), т. е. Q – априорно выведенные формулы;

R – совокупность процедур – правил вывода одних формул из других.

Формальная система обладает свойством автономности, т.е. если задать ФС, то она самостоятельно начнет генерировать множество выводимых синтаксически правильных совокупностей. Они будут порождаться в результате применения правил вывода к совокупностям из множества Q.

Пример. Формальная система (JP)

Алфавит  {a, b, }.

Формулы: символ или последовательность символов, или .

Одна аксиома: aa.

Одно правило вывода: с1с2  bc1bc2.

Принято, что в этом правиле вывода символы c1 и с2 означают какие-то последовательности символов а или b и могут быть замещены любыми последовательностями а или b.

Символы c1 и с2 не являются символами данной формальной системы. Они служат посредниками для формализации правил вывода. Здесь а и b называют константами, а – оператором.

Из определения данной формальной системы непосредственно вытекает следующий способ получения допустимых формул:

aa;

baab;

bbaabb;

bbbaabbb и т.д.

3.2. Разрешимость формальной системы

Первым вопросом, который возникает при задании формальной системы, является вопрос об инверсии, т. е. о том, возможно ли, рассматривая какую-либо формулу формальной системы, определить, является ли она доказуемой или нет. Другими словами, речь идет о том, чтобы определить, является ли данная формула теоремой или не-теоремой и как это доказать. В математике предполагается, что при задании формальной системы существует хорошо определенный способ действий, который за конечное число шагов позволит получить ответ на данный вопрос. Такой способ, если он существует, называется процедурой решения, а соответствующую формальную систему называют разрешимой. Однако основная трудность заключается в том, что такие процедуры существуют далеко не всегда, даже для таких простых и фундаментальных теорий, как исчисление предикатов первого порядка. Причина этого состоит в следующем. Даже если применить правила словообразования (т.е. правила построения формул, правила вывода) последовательно ко всем возможным объектам формальной системы и формальная система такова, что имеется принципиальная возможность перечисления её теорем (даже при бесконечном их числе), то всё же не существует никакого подходящего способа в общем случае, чтобы перечислить все не-теоремы.

В данном случае эту проблему нельзя решить и с помощью комбинаторных методов, так как если после какого-то числа проведённых операций ещё не получено определённого ответа на вопрос о характере рассматриваемой формулы, то нет возможности определить причину этого: то ли рассматриваемая формула не является теоремой, то ли сама формальная система не является разрешимой. Поэтому говорят, что множество теорем формальной системы необязательно является рекурсивно перечислимым.