
- •Основные понятия и определения
- •Понятие искусственного интеллекта
- •1.2. История развития искусственного интеллекта за рубежом
- •1.3. История развития искусственного интеллекта в России
- •1.4. Цели и задачи искусственного интеллекта
- •1.5. Основные направления исследований по ии
- •1.6. Контрольные вопросы и упражнения
- •2. Истоки формальных рассуждений
- •2.1. Левополушарное и правополушарное мышления
- •2.2. Контрольные вопросы и упражнения
- •3.Формальные системы
- •3.1. Понятие формальной системы
- •3.2. Разрешимость формальной системы
- •3.3. Интерпретация формальной системы
- •3.4. Доказательство и истинность
- •3.5. Контрольные вопросы и упражнения
- •4.1. Основные принципы силлогистики
- •4.2. Решение силлогизмов
- •4.3. Расширенная силлогистика
- •4.4. Моделирование силлогистики
- •4.5. Контрольные вопросы и упражнения
- •5. Исчисление высказываний
- •5.1. Синтаксис исчисления высказываний
- •5.2. Семантика исчисления высказываний
- •5.3. Классы формул исчисления высказываний
- •5.4. Понятие семантического дерева
- •5.5. Алгоритм Куайна
- •5.6. Алгоритм редукции
- •5.7. Алгебраический подход к определению класса формул
- •5.7.1. Нормальные формы и алгоритм нормализации
- •5.7.2. Алгоритм Куайна для днф
- •5.7.3. Принцип резолюций
- •5.7.4. Хорновские дизъюнкты
- •5.8. Применение исчисления высказываний
- •5.8.1. Пример базы знаний на основе логических высказываний
- •5.8.2. Применение исчисления высказываний в конструировании релейно-контактных схем
- •5.9. Контрольные вопросы и упражнения
- •6. Исчисление предикатов
- •6.1. Определение исчисления предикатов первого порядка
- •6.1.1. Операции над предикатами
- •6.1.2. Общезначимость и выполнимость формул исчисления предикатов
- •6.2 Исчисление предикатов как формальная система
- •6.4. Сколемовские стандартные формы исчисления предикатов
- •6.5. Процедура вывода Эрбрана
- •6.6. Принцип резолюции для логики предикатов
- •Контрольные вопросы и упражнения
- •7. Индуктивные рассуждения
- •7.1. Схема индуктивных рассуждений
- •7.2. Индукция Милля
- •1. Принцип единственного различия
- •2. Принцип единственного сходства
- •3. Принцип единственного остатка
- •7.3. Особенности индуктивных схем рассуждений
- •7.4. Индуктивные методы и алгоритмы
- •7.4.2. Метод пятизначной логики
- •7.4.3. Алгоритм древ
- •7.4.4. Алгоритм амх (алгоритм, основанный на метрике Хемминга)
- •7.4.5. Индукция решающих деревьев (id3)
- •7.4.6. Метод фокусирования
- •7.5. Контрольные вопросы и упражнения
- •8. Рассуждения по аналогии
- •8.1. Виды аналогий и приемы работы с ними
- •8.2. Простая аналогия
- •8.3. Другие виды аналогии
- •8.4. Аналогия в доказательстве теорем
- •8.5. Формализация аналогии
- •8.7. Методы реализаций рассуждений по аналогии
- •8.8. Проблемы рассуждений по аналогии
- •8.9. Контрольные вопросы и упражнения
- •9. Автоматизация нечетких рассуждений
- •9.1. Модальные логики
- •9.2. Применение нечеткой математики
- •9.3. Нечеткая силлогистика
- •9.5. Контрольные вопросы и упражнения
- •10. Представление задач в пространстве состояний
- •10.1. Примеры представления задач в пространстве состояний
- •10.2. Методы поиска в пространстве состояний
- •10.3. Контрольные вопросы и упражнения
- •11. Распознавание образов
- •Выделяются следующие основные типы задач распознавания образов:
- •11.1. Искусственный нейрон
- •11.2. Искусственные нейронные сети
- •Персептроны
- •11. 3.1. Персептронная представляемость
- •11.3.2. Преодоление ограничения линейной разделимости
- •11.3.3. Обучение персептрона
- •11.4. Процедура обратного распространения
3.1. Понятие формальной системы
Появление формальных систем было обусловлено осознанием того факта, что совершенно различные системы, будь то технические, социальные, экономические или биологические, обладают глубоким сходством.
В формальной системе (ФС), оперирующей теми или иными символами, эти символы воспринимаются просто как элементы, с которыми обращаются согласно определенным правилам, зависящим только от формы выражений, образованных из символов. Понятие истинности появляется только в связи с возможными приложениями (интерпретациями) этой системы.
Формальные системы – это аксиоматические системы, т.е. системы с наличием определенного числа исходных, заранее выбранных и фиксированных высказываний, называемых аксиомами.
Формальную систему называют также аксиоматикой, или формальной теорией, еще проще – множеством формул. Формальная система – это совокупность следующих компонентов:
Ф = Т, L, Q, R,
где Т – множество базовых элементов (конечный алфавит), единственное требование к элементам множества Т – для всякого элемента за конечное число шагов можно узнать, принадлежит ли он Т или нет, и отличать одни элементы от других, отождествляя одинаковые элементы;
L – множество синтаксических правил построения слов и формул;
Q – множество выделенных синтаксически правильных образований (аксиом), т. е. Q – априорно выведенные формулы;
R – совокупность процедур – правил вывода одних формул из других.
Формальная система обладает свойством автономности, т.е. если задать ФС, то она самостоятельно начнет генерировать множество выводимых синтаксически правильных совокупностей. Они будут порождаться в результате применения правил вывода к совокупностям из множества Q.
Пример. Формальная система (JP)
Алфавит {a, b, }.
Формулы: символ или последовательность символов, или .
Одна аксиома: aa.
Одно правило вывода: с1с2 bc1bc2.
Принято, что в этом правиле вывода символы c1 и с2 означают какие-то последовательности символов а или b и могут быть замещены любыми последовательностями а или b.
Символы c1 и с2 не являются символами данной формальной системы. Они служат посредниками для формализации правил вывода. Здесь а и b называют константами, а – оператором.
Из определения данной формальной системы непосредственно вытекает следующий способ получения допустимых формул:
aa;
baab;
bbaabb;
bbbaabbb и т.д.
3.2. Разрешимость формальной системы
Первым вопросом, который возникает при задании формальной системы, является вопрос об инверсии, т. е. о том, возможно ли, рассматривая какую-либо формулу формальной системы, определить, является ли она доказуемой или нет. Другими словами, речь идет о том, чтобы определить, является ли данная формула теоремой или не-теоремой и как это доказать. В математике предполагается, что при задании формальной системы существует хорошо определенный способ действий, который за конечное число шагов позволит получить ответ на данный вопрос. Такой способ, если он существует, называется процедурой решения, а соответствующую формальную систему называют разрешимой. Однако основная трудность заключается в том, что такие процедуры существуют далеко не всегда, даже для таких простых и фундаментальных теорий, как исчисление предикатов первого порядка. Причина этого состоит в следующем. Даже если применить правила словообразования (т.е. правила построения формул, правила вывода) последовательно ко всем возможным объектам формальной системы и формальная система такова, что имеется принципиальная возможность перечисления её теорем (даже при бесконечном их числе), то всё же не существует никакого подходящего способа в общем случае, чтобы перечислить все не-теоремы.
В данном случае эту проблему нельзя решить и с помощью комбинаторных методов, так как если после какого-то числа проведённых операций ещё не получено определённого ответа на вопрос о характере рассматриваемой формулы, то нет возможности определить причину этого: то ли рассматриваемая формула не является теоремой, то ли сама формальная система не является разрешимой. Поэтому говорят, что множество теорем формальной системы необязательно является рекурсивно перечислимым.