32. Ньютондық емес сұйықтың фильтірлену пьезоөткізгіштік математикалық моделі
Серпімді сызықты пласт-қабат үшін пьезоөткізгіштік теңдеуді қортайық. Флюид-тамшылы сығылатын сұйықтың үзіліссіздік теңдеуі
.
(1)
Тығыздық және кеуектілік қысымға сызықты байланысты [2,3]
,
(2)
(3)
Бұл
формулалардағы
мұнайдың сығылу коэффициенті,
кеуек
ортаның көлемдік серпімділігін сипатайтын
коэффициент. Онда
үшін келесі теңдікті жазуға болады
(4)
Квадрат жақшаның ішіндегі қосылғыштардың соңғы мүшесі аз шама, ескермеуге болады, онда (4) келесі түрде жазамыз
.
(5)
мұнда мұнай пласт-қабаттың серпімдік сыйымдылығын сипаттайтын коэффициенті.
Массалық жылдамдықты флюид тығыздығын (2) ескеріп жазсақ
,
мұнда
кейбір қысым айырымында
мүше
бірмен салыстырғанда өте аз, яғни
,
онда соңғы теңдеуді Дарси заңын ескеріп
жазайық
немесе векторлардың модульдері бойынша
.
(6)
Бірлік өлшемде (1) үзіліссіздік теңдеуді (5) және (6) тұжырымды ескеріп сызықты пласт-қабаттағы флюид серпімді сұйық болғандағы қозғалыс теңдеуі
(
,
немесе тұрақты коэффициенттері үшін сызықты пьезоөткізгіштік теңдеуін аламыз
,
(7)
мұнда
мұнай
пласт-қабаттың пьезоөткізгіштік
коэффициенті, Си өлшем бірліктер
жүйесінде
.
Тәжрибеде
каппа коэффициентінің жиі кездесетін
өзгеру интервалы:
.
Мұнай
өндіру механикасында Фурьенің екі
өлшемсіз параметры қарастырылады
және
.
Өлшемсіз уақыт бірлігін біріншіден
ұңғыманың радиусы
бойынша
параметріне жатқызады, ал пласт-қабаттың
өлшем мөлшеріне
байланысты
параметірін
алады.
,
,
мұнда
уақыт.
Ал
,
параметрлері кеуек ортаның физика-геологиялық
тұрақтыларына және сұйықтың қасиетіне
байланысты болады.
Шектелмеген
горизонталь серпімді пласт-қабат жалғыз
ұңғымамен өндірілсе, онда сұйықтың
жазық радиалды қозғалысын нүктеге
(эксплуатациалық ұңғыма) немесе нүктеден
(ығыстырушы ұңғыма) пайда болды деп
модельдеуге болады. Бір текті кеуек
ортадағы сұйықтың қозғалысы қысымға
байланысты радиалды симметриялы және
қысым екі айнымалыға тәуелді функция
болады
,
мұнда
.
Полярлық координат жүйесінде пьезоөткізгіштік теңдеу келесі түрде жазылады
(8)
Шектелмеген пласт-қабатта лездік жұту көзіне байланысты сұйықтың кеннеттен ығысуы жүрсін дейік, онда (8) теңдеудің шешімін Лаплас келесі түрде болатынын көрсетті
(9)
(9) түрде берілген формула (8) теңдеудің шешімі болатынына көз жеткізу қиын емес, мұнда А және С интегралдық тұрақты шамалар есептің қойылған шарттарына байланысты табылады.
Пьезоөткізгіштік теңдеуді қорытудың жалпы әдісін Остраградский-Гаусс формуласын қолданып қортайық. Кеуек ортада алынған элементар көлемдегі флюид массасының бірлік уақыттағы азаю шамасы
, (10)
екінші жағынан бұл азаюы көлем шектелген беттен аққан флюид масса жылдамдығының ағынымен анықталады
мұндағы жылдамдық вектор .
Флюид мұнай болғанда күйін сипаттайтын теңдеу
үшін , яғни өзгерісі барынша үлкен жылдамдықта жүреді, себебі мұнай әлсіз сығылатын сұйық, ендеше .
Осы көлем шектелген беттен өтетін толық масса ағыны тең
(11)
Флюид массасының баланысы орындалады, егер (10) және (11) теңестірсек.
Остраградский-Гаусстың теоремасы бойынша
Осыдан
Серпімді кеуек ортаның флюидтің тығыздығына көбейтіндісі (5) теңдеудің негізінде
,
мұнда мұнай пласт-қабаттың серпімдік сыйымдылығын сипаттайтын коэффициенті. Біртекті сызықты пласт-қабаттағы серпімді режимді сипаттайтын соңғы интегралды, тұрақты параметрлері үшін .
Интеграл астындағы өрнек екінші ретті параболалық теңдеуге жататын пьезоөткізгіштік теңдеуін береді. Лапластың операторын қолданып келесі түрде жазайық
, (12)
мұнда
мұнай
пласт-қабаттың пьезоөткізгіштік
коэффициенті, ал
Лаплас
операторы
