5 .Основные понятия и определения дифференциальных уравнений высших порядков

Дифференциальное уравнение n-го порядка имеет вид   или, если оно разрешено относительно  ,

(1)

undefined  уравнения (I), удовлетворяющего начальным условиям

(2)

называется задачей Каши для уравнения(2)

Общим решением дифференциального уравнения n-го порядка (1) называется множество всех его решений, определяемое формулой  , содержащей   произвольных постоянных   таких, что если заданы начальные условия (2), то найдутся такие значения  , что   будет являться решением уравнения (1), удовлетворяющим этим начальным условиям.

Любое решение, получаемое из общего решения при конкретных значениях произвольных постоянных  называется частным решением дифференциального уравнения (1).

Уравнение вида  , которое определяет неявно общее решение дифференциального уравнения, называется общим интегралом уравнения. Давая постоянным  , конкретные допустимые числовые значения, получим частный интеграл дифференциального уравнения. График частного решения или частного интеграла называется интегральной кривой данного дифференциального уравнения.

Пример 1. Показать, что   есть общее решение дифференциального уравнения  .

Решение. Покажем, что   удовлетворяет данному уравнению при любых значениях постоянных   и  . В самом деле, имеем  .

Пусть теперь заданные произвольные начальные условия  . Покажем, что постоянные   и   можно подобрать так, что   будет удовлетворять этим условиям. Имеем    . Полагая  , получаем систему

из которой однозначно определяются   и  . Таким образом, решение   удовлетворяет поставленным начальным условиям.

Геометрически это означает, что через каждую точку   плоскости   с заданным угловым коэффициентом   проходит единственная прямая.

Задание одного начального условия, например  , определяет пучок прямых с центром в точке  , т.е. одного начального условия недостаточно для выделения единственного решения.

6. Линейные дифференциальные уравнения высших порядков.

  Определение. Линейным дифференциальным уравнением n – го порядка называется любое уравнение первой степени относительно функции у и ее производных   вида:

 

где p₀, p₁, …,p_n – функции от х или постоянные величины, причем p₀ ¹ 0.

 

  Левую часть этого уравнения обозначим L(y).

 

 Определение. Если f(x) = 0, то уравнение L(y) = 0 называется линейным однородным уравнением, если f(x) ¹ 0, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным неоднородным уравнением, если все коэффициенты p₀, p₁, p₂, … p_n – постоянные числа, то уравнение L(y) = f(x) называется линейным дифференциальным уравнением высшего порядка с постоянными коэффициентами.

 

  Отметим одно важное свойство линейных уравнений высших порядков, которое отличает их от нелинейных. Для нелинейных уравнений частный интеграл находится из общего, а для линейных – наоборот, общий интеграл составляется из частных. Линейные уравнения представляют собой наиболее изученный класс дифференциальных уравнений высших порядков. Это объясняется сравнительной простотой нахождения решения. Если при решении каких – либо практических задач требуется решить нелинейное дифференциальное уравнение, то часто применяются приближенные методы, позволяющие заменить такое уравнение “близким” к нему линейным.

  Рассмотрим способы интегрирования некоторых типов линейных дифференциальных уравнений высших порядков.

6. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Если в уравнении (1) функция 

а) непрерывна по всем своим аргументам   в некоторой области   их изменения,

б) имеет ограниченные в области   частные производные  по аргументам  , то найдется интервал  , на котором существует единственное решение  уравнения (1), удовлетворяющее условиям

где значения содержатся в области  ,

Для уравнения второго порядка   начальные условия имеют вид

где   — данные числа. В этом случае теорема существования и единственности геометрически означает, что через данную точку   плоскости   с данным тангенсом угла наклона касательной   проходит единственная кривая.

Рассмотрим, например, уравнение   и начальные условия

В данном случае  . Эта функция определена и непрерывна при всех значениях  . Ее частные производные по   и   равны соответственно и являются всюду непрерывными и ограниченными функциями своих аргументов. Следовательно, каковы бы ни были начальные условия существует единственное решение данного уравнения, удовлетворяющее этим условиям.